篇一：阿基米德的数学成就数学史
阿基米德
阿基米德(Archimedes) 公元前287年生于西西里岛(Sicilia，今属意大利)的叙拉古(Sracusa，—译锡拉库萨)；公元前212年卒于叙拉古．数学、力学、天文学．
和其他的古希腊数学家相比，阿基米德的生卒年是比较确实的．J．策策斯(Tzetzes，约1110—约1180)在《史书》(Book of histories)中记载：“智者阿基米德是叙拉古人，著名的机械制造师，终生研究几何，活到75岁”．阿基米德之死，T．李维(Livius， 公元前59—公元17年)策斯等历史学家作了不同的描述，但一致同意他是在叙拉古陷落(公元前212年)时被罗马兵所杀的．倒推回去，应生于公元前287年．
阿基米德是叙拉古统治者海厄罗王(Hiero Ⅱ，约公元前308—前216年，约公元前270—前216年在位)的亲戚，和王子吉伦(Gelon，后继承王位)友善．父亲菲迪亚斯(Phidias)是天文学家．
阿基米德早年曾在当时希腊的学术中心亚历山大跟随欧几里得的门徒学习，对欧几里得数学进一步的发展作出了一定的贡献．在那里结识许多同行好友，如科农(Conon of Samos，公元前245年前后)、多西修斯(Dositheus，公元前225年前后)以及埃拉托塞尼(Eratosthenes)等等．回到叙拉古以后仍然和他们保持密切的联系，因此阿基米德也算是亚历山大学派的成员，他的许多学术成果就是通过和亚历山大的学者通信往来保存下来的．后人对阿基米德给以极高的评价．数学史家E．T．贝尔(Bell，1883—1960)说：任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中，必定会包括阿基米德，另外两个通常是牛顿和高斯．不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来对比，拿他们的影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德．普林尼(Pliny，公元 23—79年)甚至称阿基米德为“数学之神”这些过分的赞扬，反映了后世对阿基米德的崇敬．
赫拉克利德(Heraclides)曾写过阿基米德的传记，欧托基奥斯
(Eutocius of Ascalon，约生于公元480年)止一次提到这件事，可惜传记已失传．阿基米德的生平事迹，散见于各种古代的文献中．
金冠
维特鲁维厄斯(Marcus Vitruvius Pollio，公元前1世纪上半叶—约公元前25年)罗马有名的建筑学家，以传世的10卷《建筑学》(De Architectura Libri X)称．这书第Ⅸ卷记述了一段传诵千古的逸事．叙
拉古的海厄罗王的政治威望及权势日益提高，为了报答诸神的德泽，他决定建造一个华贵的神龛，内装一个纯金的王冠，作为谢恩的奉献物金匠如期完成了任务，理应得到奖赏．这时有人告密说金匠偷去一部分金子，以等重的银子掺入．国王甚为愤怒，但又无法判断是否确有其事．便请素称多能的阿基米德来鉴定一下，他也一时想不出好办法来．正在苦闷之际，他到公共浴室去洗澡，当浸入装满水的浴盆去的时候，水漫溢到盆外，而身体顿觉减轻．于是豁然开朗，悟到不同质料的物体，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等．根据这一道理，不仅可以判断王冠是否掺有杂质，而且知道偷去黄金的份量．这一发现非同小可，阿基米德高兴得跳了起来，赤身奔回家中准备实验，口中不断大呼“尤里卡！尤里卡！”(Eureka，意思是“我找到了”．)这问题可解释如下：设王冠重W，其中金与银分别重W1，W2，而W=W1＋W2分别取重为W与W1
的纯金放入水中，设排去水的重各
的
银放入水中，设排去水的重量各为F2与y，于是W∶W2=F2∶y，
由此推得F(W1＋W2)=F1W1+F2W2，即
用实验可求出F，F1，F2，即可算出银与金之比值．如F=F1，说明没有掺银．实际情况是两者不等，从而揭穿了金匠的劣行．
经过仔细实验和反复思考，将经验上升为理论，他终于发现了流体静力学的基本原理——阿基米德原理：物体在流体中减轻的重量，等于排去流体的重量．后来总结在他的名著《论浮体》(Flo－ating bodies)中成为第7命题．
豪言壮语
帕波斯(Pappus)的《数学汇编》(Mathematical collections)
记载，阿基米德建立了杠杆定律(若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡)之后，解决了“用给定的力去移动任何给定的重物”的问题，曾发出豪言壮语：“给我一个立足点，我就可以移动地球！”
普卢塔克(Plutarch，约公元46—119年以后)的《马塞勒斯传》(Marcellus)中有更详细的描写．阿基米德对海厄罗王说：任何重物都可以用一个给定的力来移动．“如果另外有一个地球，就可以站在那上面移动这一个”．海厄罗王大为诧异，想考验一下这惊人的论断是否可靠，要求他用事实来证明．阿基米德从国王的船队中选定一艘有三根桅杆的货船，这种船通常要用很多人花很大力气才拖得动它．阿基米德安装了一组滑轮，自己站在远处，手握绳子的一端，轻而易举将船平稳地拉过来，好象它在海上行驶一样．
按普罗克洛斯(Proclus)的说法，这艘船是海厄罗王特地为托勒密王(Ptolemy)建造的，下水时几乎动员了所有的叙拉古人．而阿基米德凭着他发明的机械，使国王自己一个人就把它拖动．国王佩服得五体投地，当即宣布：“从现在起，阿基米德说的话我们都要相信”．
辛普利休斯(Simplicius，6世纪上半叶)在注释亚里士多德的《物理学》(Physica)时，说阿基米德发明了一种“神力器”(cha-ristion)
德宣称要用“神力器”去移动地球．
上述几种记载内容大致相同．阿基米德真的能移动地球吗？不妨作一个简单的计算．那时他并不知道地球有多重，现在知道地球质量是6×1027克．假想用杠杆来举起地球，加60公斤(6×104克)的力，那么力臂应该是重臂的 6×1027÷6×102=1023倍．要举起地球1/10000毫米，力臂的一端应走过1013公里以上．每天24小时以短跑的速度走过这个距离，
至少要3000万年！换句话说，即使略去杠杆本身的重量不计，阿基米德用尽毕生的力量，也休想移动地球分毫．不过这位伟大的古代力学家，只因为不知道地球的大小，以致作出错误的判断，这是可以谅解的．
叙拉古保卫战
在阿基米德的一生中，最悲壮、最惊心动魄的一幕是他以古稀之龄，投身于反侵略战争，最后为国捐躯．
迦太基(Carthage)是古代腓尼基(Phoenicia)人建立的国家．以现今非洲北部的突尼斯为中心，领土东到西西里岛，西达西班牙和摩洛哥．由于商业和殖民利害的冲突，从公元前264年起到前146年为止，前后三次和罗马人进行了猛烈的大搏斗，延续120年之久．罗马人称迦太基人为腓尼(Poeni)，转为布匿(Punic)，故史称布匿战争．第二次布匿战争发生于公元前218—前201年，叙拉古和迦太基缔结同盟，因此成为罗马的仇敌．公元前214年，罗马名将马塞勒斯(Marcus Claudius Marcellus，约公元前268—前208年)率领大军围攻叙拉古．在这危急存亡之秋，阿基米德便献出自己一切杰出的科学技术为祖国效劳．
详细记述这次保卫战的主要有三种书：波利比奥斯(Polybius，约公元前200—前118年)的《通史》(Historiae，共 40卷)，李维的《罗马史》及普卢塔克的《马塞勒斯传》(Vita Marcelli)．此外策策斯、卢西恩(Lucian，约公元120—180年以后)等也有所论述．
马塞勒斯从陆上及海上袭击叙拉古．阿基米德用他发明的起重机之类的器械将靠近墙根的船只抓起来，再狠狠地摔下去，有的被撞得粉碎，有的沉入海底．马塞勒斯也不甘示弱，他用8艘5层橹船(quinquereme)，每两艘联锁在一起，架起一种叫“萨姆布卡”(sambuca)武器，准备攻城．可是叙拉古人未等敌船靠近，就用强大的机械将巨大石块抛出，形同暴雨，打得“萨姆布卡”七零八落．同时万弩齐发，罗马兵死伤无数．吓得目瞪口呆的马塞勒斯下令退兵．在陆上，罗马兵也没有占到便宜．多次进攻，均未得逞．
有一种传说是阿基米德用巨大的火镜(burning－mirror)反射阳光来焚烧敌船，这大概是夸张的说法，最早见于卢西恩(Luci－an)的记载．不过当时阿基米德已经发现抛物面反射镜能够聚焦的性质．有的书说成将燃烧的火球弹射出去使敌船着火，这也许比较可信．
无论如何，罗马兵已成惊弓之鸟，简直是“风声鹤唳，草木皆兵”，只要看到一根绳子或一块木头从城里扔出来，立刻抱头鼠窜，大呼：“阿基米德的机器又瞄准我们了”．
罗马人在一次军事会议上，决定夜间偷袭，他们以为飞弹只能在远距离起作用，黑夜可以避开城上的视线，一旦接近城墙，飞弹就无能为力了．谁知阿基米德早有防备，制造了一种叫“蝎子”的弩炮，专门对付近处的敌人．罗马兵又一次吃了大亏．
马塞勒斯嘲笑他自己的工程师和工兵说：“我们还能同这个懂几何的‘百手巨人’(Briareus)下去吗？他轻松地稳坐在海边，把我们的船只像掷钱游戏(pitch and toss)似的抛来抛去，船队被搞得一塌糊涂，还射出那么多的飞弹，比神话里的百手妖怪还厉害”．(《马塞勒斯传》，见[7]，p．29．)
后来罗马军放弃正面进攻，改用长期围困的策略．叙拉古终于因粮食耗尽，被叛徒出卖，公元前212年，在一个庆祝阿泰密斯(Artemis)神，75岁的阿基米德也光荣牺牲了．
为国捐躯
叙拉古陷落时，马塞勒斯虽然发布了许多禁令，仍然阻挡不住士兵的劫掠．出于对阿基米德的敬佩，他下令不准伤害这位贤者，
但阿基米德还是被愚蠢的罗马兵杀害了．关于他的死，几种记载颇有出入．
(一)最早的说法出自李维．在兵荒马乱之中，侵略军大肆杀戮，阿基米德正在沙上画图，一个罗马兵将他刺死，根本不知道他是谁．这里所说的“沙”，是指沙盘(sand board)，在平板上铺上细沙，用来计算、画图和写字．也就是“算盘”(abacus)．李维的原文是pulvis(拉丁文，沙盘或沙上铺的细沙)，后来罗马历史学家瓦勒里乌斯(Valerius Maximus，活跃于公元20年前后)提到这件事，误以为是在沙地上画图，把pulvis写成terra(土地)，于是许多书就以讹传讹．
许多数学史书都转载一幅镶嵌的图案画(例如见［11］，p．135)，表现了阿基米德之死．它是在意大利赫库兰尼姆(Herculaneum)发现的，原为波拿巴(Jérme Bonaparte， 1784—1860)的传家宝，后为威斯巴登(Wiesbaden)的F．E．沙贝尔(Schabell)所有，1924年由F．温特尔(Winter)
篇二：阿基米德学术及思想成就Archimedes
Archimedes
阿基米德学术及思想成就
Archimedes life
In 287 BC, Archimedes was born in a rich family. Archimedes' s father is a mathematician and astronomer, knowledgeable, modest man. His 11-year-old, and with the relationship between the royal family, were sent to the ancient Greek city of Alexandria Cultural Center to learn.
Alexandria was as known as "intellectual capital." Archimedes in the learning and living here for many years, talked to a lot of close contacts between scholars. During his study of mathematics, astronomy and mechanics have a strong interest.
The father of the mechanics Archimedes
Archimedes law is a basic law of physics
—— “Any object placed in a fluid displace sits weight;an immersed object displaces its volume.”
Archimedes Leverage Theory
Archimedes process again and again observation, experiment and calculation, finally establishment lever of balance laws."dint arm and dint(weight) become reverse
ratio."In other words, be:The small weight is a big weight of how much cent it a heavy, long the dint arm should be short dint arm of how much times long.The establishment of Archimedes after the lever laws, predict to say, as long as can obtain appropriate lever length, any weight can raise with the pimping strength.It is said that that he once said so of the Hao speech strong language:
Give me a lever long enough and a fulcrum on which to place it, and I shall move the world.
Archimedes' helicoid
In his study of astronomy, invented by water-driven instrument of the planet and used it to simulate the sun, moon and planets of the solar eclipse and the operation and performance of the moon phenomenon. To address the Nile river water used for irrigation of the land problem, which invented the spiral-shaped cylinder pumping, later called "Archimedes spiral."
r=aθ
r——Poles distance
Θ——Angle
a——constant
The posterity gives the very high appraisal to Archimedes, often him and Newton, Gauss and is called throughout history contributes the biggest mathematician
Archimedes’ works
1．《On the sphere and cylinder》；
2．《Measurement of a circle》；
3．《On conoids and spheroids》；
4．《On spirals》；
5．《On the equilibrium of planes or the centres of gravity of planes》
Personal views towards him
Archimedes is generally considered to be the greatest mathematician of antiquity and one of the greatest of all time. He used the method of exhaustion to calculate the area under the arc of a parabola with the summation of an infinite series, and gave a remarkably accurate approximation of pi.[4] He also defined the spiral bearing his name, formulate for the volumes of surfaces of revolution and an ingenious system for expressing very large numbers.
Archimedes died during the Siege of Syracuse when he was killed by a Roman soldier despite orders that he
should not be harmed. Cicero describes visiting the tomb of Archimedes, which was surmounted by a sphere inscribed within a cylinder. Archimedes had proven that the sphere has two thirds of the volume and surface area of the cylinder (including the bases of the latter), and regarded this as the greatest of his mathematical achievements.
Unlike his inventions, the mathematical writings of Archimedes were little known in antiquity. Mathematicians from Alexandria read and quoted him, but the first comprehensive compilation was not made until c. 530 AD by Isidore of Miletus, while commentaries on the works of Archimedes written by Eutocius in the sixth century AD opened them to wider readership for the first time. The relatively few copies of Archimedes' written work that survived through the Middle Ages were an influential source of ideas for scientists during the Renaissance, while the discovery in 1906 of previously unknown works by Archimedes in the Archimedes Palimpsest has provided new insights into how he obtained mathematical results
In addition to the great Newton and great Albert
Einstein, there is no one can like Archimedes to the progress of mankind that made this great contribution. Even if Newton and Einstein also had to learn some from him wisdom and inspiration.
Let us remember the great scientists, his thoughts on the academic attitude, he is a monument in civilization history forever.
篇三：数学史论文之阿基米德的数学成就之圆的测定
阿基米德的数学成就之圆的测定
果果
（长江师范学院数学与计算机学院 重庆 涪陵 408100）
摘要：数学科学是几千年来人类智慧的结晶，任何一张关于有史以来最伟大的数学家的名单中，必定会包括阿基米德。以他的丰功伟绩和所处的时代背景来对比，拿他影响当代和后世的深邃久远来比较。本文介绍阿基米德一生的学术著作与主要的科学贡献。然后对阿基米德在数学上的重要成就圆的测定极其方法的基本介绍。对阿基米德圆的测定在中学教学的应用的简述，最后对阿基米德在数学领域的重大意义。
关键词：阿基米德 圆的测定 意义
通过了解阿基米德一生重要学术著作与的科学贡献而了解阿基米德。然后本文重点突出阿基米德在数学史上的重大成就，然而对阿基米德的重大成就之圆的测定做出简要的分析，及对阿基米德圆的测定的的基本过程的简述，在当代学生学习数学的广泛使用圆的测定及在这科技创新的社会里，广泛使用圆的测定的相关知识，圆的测定推动了当代社会科技发展。圆的测定在学生学习的重大意义及实际运用做出简要的陈述。最后对阿基米德的一生重大成就对后人的影响及数学史上的重大意义。
一、阿基米德的生平
阿基米德（Archimedes）于公元前287年出生在意大利半岛南端西西里岛的二千一百九十年前，在古希腊西西里岛的叙拉古国，出现一位伟大的数学家、物理学家。 阿基米德的父亲是位数学家兼天文学家。从小有良好的家庭教养，他11岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习。在这座号称“智慧之都”的名城里，阿基米德博览群书，汲取了许多的知识，并且做了欧几里得学生埃拉托塞和卡农的门生，钻研《几何原本》，他与亚历山大的学者保持紧密的联系，因此他是亚历山大学派的成员。阿基米德的一生勤奋好学，专心一志地献身于科学，忠于祖国，受到人们的尊敬与赞扬。阿基米德曾发现杠杆定律和以他的名字命名的阿基米德定律。并利用这些定律设计了多种机械。曾发出豪言壮语：“给我一个立足点，我就可以移动整个地球！”他通过大量实验发现了杠杆原理，又用几何演泽方法推出许多杠杆命题，给出严格的证明。其中就有著名的"阿基米德原理"，他在数学上也有着极为光辉灿烂的成就。尽管阿基米德流传至今的著作共只有十来部，但多数是几何著作，这对于推动数学的发展，起着决定性的作用。
二、阿基米德的学术著作与主要的科学贡献
《圆的度量》利用圆的外切与内接96边形，求得圆周率π为：22/7＜π＜223／71 ，这是数学史上最早的，明确指出误差限度的π值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积；使用的是穷举法。
《论螺线》是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。
《平面的平衡》是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。
《浮体》是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。
《论锥型体与球型体》讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体体积。
三、阿基米德圆的测定在教学中的应用
1、圆的测定
公元前约225年，阿基米德发表了一篇题为《圆的测定》的论文，这篇论文中的第一个命题对圆面积作了十分透彻的分析。但是，在我们讲述这一不朽之作之前，我们有必要先介绍一下在阿基米德探讨这一问题时，有关圆面积问题的发展状况。当时的几何学家已知，不论圆的大小如何，圆的周长与直径之比总是一定的。
如图4.1所示，公式中的C代表周长，D代表直径。
换句话说，圆的周长与直径之比是一个常数，现代数学家定义这一比率为π。因此，公式
正是表明了常数π的定义，即两个长度圆的周长与直径的比。《原本》的命题Ⅻ.2证明了两个圆的面积之比等于两圆直径的平方比，因此，圆面积与其直径的平方比是一个常数。用现代术语说，欧几里得证明了常数k的存在，因而
至此，一切顺利。但是，这两个常数之间相互有什么关系呢？也就是说，人们是否能够发现在这“一维”常数π（表示圆周长与直径的关系）与“二维”常数k（表示面积与直径的关系）之间存在着一种简单的联系？显然，欧几里得没有发现这种联系。然而，阿基米德在其短小精炼的论文《圆的测定》中证明了有关结果，而这相当于现代涉及π的求圆面积公式。在证明中，他在圆周长（及因此产生的π）与圆面积之间建立了重要联系。他的证明需要两个非常直接的初步定理和一种非常复杂的逻辑方法，称为双重归谬法。
阿基米德的第二个定理当时也非常著名，而且显然是不证自明的。这一定理称，如果给我们一个已知圆，我们可以作圆内接正方形；欧几里得在命题IV.6中已证明过这种作图这一过程可以无限继续。实际上，这种方法的实质就是前面曾提到过的著名的欧多克索斯穷竭法。显然，内接正多边形的面积永远不会等于圆的面积；不论内接正多边形产生多少条边，都永远小于圆的面积。但是这是穷竭法的关键，如果预先给定任一面积，不论其多小，我们都能作出一个内接正多边形，而使圆面积与其内接正多边形的面积这一正多边形也许有几百条边或几千条边，但这并不重要，重要的是它存在。外切正多边形也具有类似的规律。我们可以用一句话来概括这两种正多边形的规律，即，对于任何已知圆，我们都可以作出它的内接正多边形或外切正多边形，其面积可任意接近圆的面积。正是这句“可任意接近”成为了阿基米德成功的关键。以上就是阿基米德的两个初步命题。下面，我们有必要就他论证两个面积相等时所采用的逻辑方法作一个简单的介绍。在某种意义上，这种逻辑方法比我们以往所见到的任何方法都更复杂，或者说，至少更曲折。例如，我们可以回想一下，欧几里得是如何证明直角三角形斜边上正方形的面积等于两条直角边上正方形面积之和的：他直接推理，证明了问题中的面积相等。他的证明方法虽然非常巧妙，却只是正面论证。然而，阿基米德在论证更为复杂的圆面积问题时，采用了一种间接证明的方法。他认为，任何两个量A与B，一定只能属于下列三种情况中的一种：A＜B，或A＞B，或A=B。为了证明A=B，阿基米德首先假设A＜B，并由此推导出逻辑矛盾，因而排除这种情况的可能性。然后，他再假设A＞B，并再次推导出逻辑矛盾。排除了这两种可能性后，就只剩下了一种可能性，即A等于B。这就是阿基米德极为精彩的间接证明方法——“双重归谬法”，将三种可能性中的两种引入逻辑矛盾。这种方法初看起来似乎有点绕圈子，但细想一下就会觉得非常合理。排除了三种可能性中的两种，就迫使人们得出结论，只有第三种可能性是正确的。当然，没有人能比阿基米德更熟练地应用双重归谬法了。依据这两个初步定理，我们就可以来看一看这位几何大师是如何证明《圆的测定》一书中的第一个命题的。命题1 任何圆的面积都等于这样一个直角三角形的面积，该直角三角形的一条直角边等于圆的半径，另一条直角边等于圆的周长。 证明阿基米德首先作两个图形（图4.3）：圆的圆心为O，半径为r，周长为C；
直角三角形的底边等于C，高等于r。我们用A代表圆的面积，用T代表三角形的面积，而前者就是阿基米德求证的对象。显然，
命题宣称A=T。为证明这一点，阿基米德采用了双重归谬法证明，他需要考虑并排除其他两种可能性。
例1 假设A＞T。这一假设表明，圆面积以一定量大于三角形面积。换言之，其超出量A-T是一个正量。阿基米德知道，通过作圆内接正方形，并反复平分正方形的边，他就可以得到一个圆内接正多边形，其面积与圆面积不等，且小于正量A-T。即A-面积内接正多边形＜A-T在不等式的两边各加上“面积（内接正多边形）+T-A”，得
T＜面积（内接正多边形）
但是，这是一个圆内接正多边形（图4.4）。因此，多边形的周长Q小于圆周长C，其边心距h当然也小于圆的半径r。我们据此得出
至此，阿基米德推导出了预期的矛盾，因为他已得出T＜面积（内接多边形）和面积（内接多边形）＜T两种结论。这在逻辑上是不成立的，因此，我们得出结论，例1是不可能的；圆面积不能大于三角形面积。现在，他来考虑第二种可能性。 例2 假设A＜T。 这次，阿基米德假设圆的面积小于三角形面积，因而，T-A代表三角形面积对圆面积的超出量。我们知道，我们可以作一个圆外切正多边形，其面积大于圆面积，但小于T-A。也就是面积（外切正多边形）-A＜T-A如果我们在这一不等式两边各加上A，则面积（外切正多边形）＜T
但是，外切正多边形（图4.5）的边心距h等于圆的半径r，而正多边形的周长Q显然大于圆的周长C。因此
这样，就再次出现了矛盾，因为外切多边形的面积不可能既小于、又大于三角形的面积。因此，阿基米德推断，例2也是不可能的；圆面积不能小于三角形面积。最后，阿基米德写道：“由于圆的面积既不大于、也不小于（三角形面积），因此，圆面积等于三角形面积。”证讫。这就是阿基米德的证明，这颗小小的明珠出自一位无可争议的伟大数学家之手。阿基米德用圆面积既不大于、也不小于三角形面积的方法来证明这两个面积一定相等，这种证明方法使一些人感到甚为奇特。一些人感到这种论证方法太绕圈子，对他们我们不妨引述《哈姆雷特》中大臣波洛涅斯一句话的大意：“这虽则是疯狂，却有深意在内。”人们可能会感到奇怪，这么简短的证明方法，希波克拉底或欧多克索斯或欧几里得怎么会忽略了呢？事后聪明总是不难。这里，我们再次引述普卢塔克关于阿基米德数学的描述：从阿基米德的定理中，也许仍然看不出我们所熟悉的求圆面积公式，因为他所证明的毕竟只是圆面积等于一定三角形的面积。但是，我们将看到，这正是典型的阿基米德方法——使一个未知图形的面积与一个更简单的已知图形面积相联系。这就概括了欧几里得的定理。所以，阿基米德的命题足以表明欧几里得的命题是一个不甚重要的系定理。因而，阿基米德的命题标志着数学上的一个真正进步。《圆的测定》一书流传到我们手中，只有三个命题，不过薄薄几页。而
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