篇一:等差数列的性质教案
2.2.2等差数列的性质
教学设计
教学目标
1.知识与技能:理解和掌握等差数列的性质,能选择更方便快捷的解题方
法,了解等差数列与一次函数的关系。
2.过程方法及能力:培养学生观察、归纳能力,在学习过程中体会类比思
想,数形结合思想,特殊到一般的思想并加深认识。
3.情感态度价值观:通过师生,生生的合作学习,增强学生团队协作能力
的培养,并引导学生从不同角度看问题,解决问题
教学重点:理解等差中项的概念,等差数列的性质,并用性质解决一些相
关问题,体会等差数列与一次函数之间的联系。
教学难点:加深对等差数列性质的理解,学生在以后的学习过程能从不同
角度看问题,解决问题,学会研究问题的方法。
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教学方法:启发引导,讲练结合
学法:观察,分析,猜想,归纳
教具:多媒体
教学过程:
一、复习引入
首先回忆一下上节课所学主要内容:
1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,即an-an?1=d ,(n≥2,n∈N?),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d
2.等差数列的通项公式:
an?a1?(n?1)d (an?am?(n?m)d)
3.有几种方法可以计算公差d
① d=an-an?1 ② d=an?a1a?am ③ d=n n?1n?m
二、讲解新课:
问题:如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A应满足什么条件?
由定义得A-a=b-A ,即:A?
反之,若A?a?b 2a?b,则A-a=b-A 2
a?b?a,b,由此可可得:A?2
a?b是a,A,b成等差数列的充要条件 2
定义:若a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b也就是说,A=
不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末如数列:1,3,5,7,9,11,13?中
5是3和7的等差中项,1和99是7和11的等差中项,5和13看来,a2?a4?a1?a5,a4?a6?a3?a7
性质1:在等差数列?an?中,若m+n=p+q,则,am?an?ap?aq 即 m+n=p+q ?am?an?ap?aq (m, n, p, q ∈N )
证明:am?an?a1?(m?1)d?a1?(n?1)d?2a1?(n?m)d?2d,
ap?aq?a1?(p?1)d?a1?(q?1)d?2a1?(p?q)d?2d, ? am?an? ap?aq.
三.例题讲解。
例1在等差数列{an}中,若a1+a6=9, a4=7, 求a3 , a9 .
分析:要求一个数列的某项,通常情况下是先求其通项公式,而要求通项公式,必须知道这个数列中的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差),本题中,只已知一项,和另一个双项关系式,想到从这双项关系式入手??
解:∵ {an }是等差数列
∴ a1+a6=a4+a3 =9?a3=9-a4=9-7=2∴ d=a4-a3=7-2=5∴ a9=a4+(9-4)d=7+5*5=32∴ a3 =2, a9=32
例2 等差数列{an}中,a1+a3+a5=-12, 且 a1·a3·a5=80. 求通项 an
解:a1+a5=2a3
a1?a3?a5??12?3a3??12?a3??4??a1a5??20 ???a1a3a5?80a?a??85??1
?a1=-10, a5=2 或 a1=2, a5=-10
∵ d=a5?a1 ∴ d=3 或-3 5?1
∴ an=-10+3 (n-1) = 3n- 13 或 an=2 -3 (n-1) = -3n+5 例3已知数列{an}的通项公式为an?pn?q,其中p,q为常数,那么这个
数列一定是等差数列吗?
分析:判定{an}是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看an?an?1(n?1)是不是一个与n无关的常数。
解:取数列{an}中的任意相邻两项an与an?1(n>1),求差得,
an?an?1=(pn+q)-[p(n-1)+q]
=pn+q-(pn-p+q)
=p
它是一个与n无关的常数。所以{an}是等差数列。
思考
这个数列的首项和公差分别是多少?
探究
(1)在直角坐标系中,画出通项公式为an?3n?5的数列的图象,这个图象有什么特点?
(2)在同一直角坐标系中,画出函数y=3x-5的图象,你发现了什么?据此说说等差数列an?pn?q的图象与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系?
四、巩固练习: 1.若等差数列的前三项依次是m1?1,65,1,求m的值。 mm
2.已知等差数列 {an}中,a2?a6?a10?1,求a3?a9。
五、小结 本节课学习了以下内容:
a?b?a,b,成等差数列 1.A?2
2.在等差数列中, m+n=p+q ?am?an?ap?aq (m, n, p, q ∈N )
3.若数列{an}的通项公式为an?pn?q的形式,p,q为常数,则此数列为等差数列。
六.布置作业
名师一号:8,9,11
探究:1.设 p, q 为常数,若数列 {an},{bn}均为等差数列, 则数列{pan?qbn},{akn},{kan}为等差数列 ,公差为多少?
2.若{an}是等差数列,公差为d.则ak,ak?m,ak?2m,?(k,m?N?)组成公差为md的等差数列。
篇二:等差数列的性质总结
1.等差数列的定义式:an?an?1
2.等差数列通项公式:
an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*) , 首项:a1,公差:d,末项:an
a?am推广: an?am?(n?m)d.从而d?n; n?m
3.等差中项
(1)如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.即:A?
(2)等差中项:数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2,n?N+)?2an?1?an?an?2
4.等差数列的前n项和公式:
n(a1?an)n(n?1)d1Sn??na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222
(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)
特别地,当项数为奇数2n?1时,an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S2n?1?a?b或2A?a?b 2等差数列性质总结 (n?2); ?d(d为常数)?2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)
5.等差数列的判定方法
(1) 定义法:若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N?)? ?an?是等差数列.
(2) 等差中项:数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2. ⑶数列?an?是等差数列?an?kn?b(其中k,b是常数)。
(4)数列?an?是等差数列?Sn?An2?Bn,(其中A、B是常数)。
6.等差数列的证明方法
定义法:若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N?)? ?an?是等差数列
等差中项性质法:2an?an-1?an?1(n?2,n?N?).
7.提醒:
(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、d、n、an及Sn,其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)设项技巧:
①一般可设通项an?a1?(n?1)d
②奇数个数成等差,可设为?,a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?(公差为d);
③偶数个数成等差,可设为?,a?3d,a?d,a?d,a?3d,?(注意;公差为2d)
8.等差数列的性质:
(1)当公差d?0时,
等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;
n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常数项为0. 前n和Sn?na1?222
(2)若公差d?0,则为递增等差数列,若公差d?0,则为递减等差数列,若公差d?0,则为常数列。
(3)当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq,特别地,当m?n?2p时,则有am?an?2ap.
注:a1?an?a2?an?1?a3?an?2????,
(4)若?an?、?bn?为等差数列,则??an?b?,??1an??2bn?都为等差数列
(5) 若{an}是等差数列,则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ,?也成等差数列
(6)数列{an}为等差数列,每隔k(k?N*)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等差数列
(7)设数列?an?是等差数列,d为公差,S奇是奇数项的和,S偶是偶数项项的和,Sn是前n项的和
。当项数为偶数2n时,
S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan 2
n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2
S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an??nd
S偶
S奇?nan?1an?1 ?nanan
。当项数为奇数2n?1时,则
?S偶n?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1 ?????S奇?S偶?an+1S奇n?1?S偶?nan+1???
(其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项).
(8){bn}的前n和分别为An、Bn,且
则An?f(n), nan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1). nn2n?1
(9)等差数列{an}的前n项和Sm?n,前m项和Sn?m,则前m+n项和Sm?n???m?n? an?m,am?n,则an?m?0
(10)求Sn的最值
法一:因等差数列前n项是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性n?N*。
法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和
?a?0即当a1?0,d?0, 由?n可得Sn达到最大值时的n值. ?an?1?0
(2) “首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。
?an?0即 当a1?0,d?0, 由?可得Sn达到最小值时的n值. a?0?n?1
或求?an?中正负分界项
注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:即运用条件转化为关于a1和d的方程;
②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
篇三:等差数列的性质以及常见题型
等差数列的性质以及常见题型
上课时间: 上课教师: 上课重点:掌握等差数列的常见题型,准确的运用等差数列的性质 上课规划:掌握等差数列的解题技巧和方法 一 等差数列的定义及应用 1.已知数列?a?的通项公式为a
n
n
??3n?2
,试问该数列是否为等差数列。
2.已知:
思考题型;已知数列?a?的通项公式为a
n
n
1
11,xyz,
成等差数列,求证:
y?zx
,
z?xy
,
x?yz
也成等差数列。
n
?pn
2
?qn(
p,q?R,
且p,q为常数)。
(1)当p和q满足什么条件时,数列?a?是等差数列? (2)求证:对于任意实数p和q,数列?a
n?1
?an?是等差数列。
二等差数列的性质考察 (一)熟用a
n
?a1?(n?1)d?am?(n?m)d
,d
?
an?amn?m
问题
(注意:知道等差数列中的任意项和公差就可以求通项公式) 1、等差数列?a?中,a2、等差数列?a?中,a
nn
n
3
?50
,a
5
?30
2
3
?a5?24
2
,a
,则a??3,则a?9
6
3
3、已知等差数列?a?中,a则a
n
与a6
的等差中项为5,a
与a7的等差中项为7
,
?
15
25
35
4、一个等差数列中a= 33,a= 66,则a=________________. 5、已知等差数列?a?中,a
n
p
?q
,a
q
?p
,则a
p?q
?____
.
(二)公差d的巧用 (注意:等差数列的项数)
1、已知等差数列共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于_____ 2、等差数列a,a
1
2
,a3,?,an
的公差为d,则数列5a,5a
1
2
,5a3,?,5an
是( )
A.公差为d的等差数列B.公差为5d的等差数列 C.非等差数列 D.以上都不对 3、等差数列{a}中,已知公差d
n
?
12
,且a
1
?a3???a99?60
,则a
1
?a2???a100?
A.170 B.150C.145 D.120
4.已知x?y,且两个数列x,a,a,???a,y与x,b,b,???b,y各自都成等差数列,
1
2
m
1
2
n
则A
a2?a1b2?b1mn
等于 ( )
m?1n?1
B C
nm
D
n?1m?1
5.一个首项为23,公差为整数的等差数列中,前6项均为正数,从第7项起为负数,则公差d为( )
A -2 B -3C -4 D -5
(三)m?n
?s?t?am?an?as?at性质的应用
(注意:角标的数字) 1. 等差数列?a?中,若a
n
3
?a4?a5?a6?a7?450
,则a
10
2
?a8?_____
。
2.等差数列?a?中,若a
n
4
?a5?a6?a7?450?20
,则S
?_____
。
3.等差数列?a?中,若S
n
13
。则a,则S
7
?_______
。 。
。
4.等差数列?a?中,若a
n
11
?10
21
?_______
5.在等差数列?a?中a
n
3
?a11?40
,则a
4
?a5?a6?a7?a8?a9?a10?_______
6.等差数列?a?中, a
n
n
1
?a2?a3??24,a18?a19?a20?78,则S20?_____
?a5?12
。
7.在等差数列?a?中,a
n
4
,那么它的前8项和S等于_______。
8
8.如果等差数列?a?中,a
n
3
?a4?a5?12
,那么a
1
?a2???a7?_______
。
9.在等差数列?a?中,已知a
n
1
?a2?a3?a4?a5?20
,那么a等于_______。
3
10.等差数列?a?中,它的前5项和为34,最后5项和146,所有项和为234,则
a7?_______
.
11.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+1,则a1+a3+a5+…+a21=_______。 12.{an}为等差数列,a1+ a2+ a3=15,an+ an-1+ a n-2=78,Sn=155,则n= _______。 (四)方程思想的运用
(注意:联立方程解方程的思想)
1.已知等差数列{an}中,S3=21,S6=24,求数列{an}的前n项和S
n
2. 已知等差数列{an}中,a
3
a7??16
,a
4
?a6?0
,求数列{an}的前n项和S
n
(五)S
n
,S2n?Sn,S3n?S2n也成等差数列的应用
1、等差数列前m项和是30,前2m项和是100,则它的前3m项和_______。 2、等差数列{an}的前n项的和为40,前2n项的和为120,求它的前3n项的和为_______。 3.已知等差数列{an}中,S4.已知等差数列{an}中,a
3
?4,S9?12, 求S15
的值.
的值
1
?a2?a3?2,a4?a5?a6?4,则a16?a17?a18
5.a1,a2 , a3,…… a2n+1 为 等差数列,奇数项和为60,偶数项的和为45,求该数列的项数.
6.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有_______。
7.在等差数列{an}中,S4=1,S8=3,则a17+a18+a19+a20的值是_______。 (六)a
n
n
?
S2n?12n?1
n
的运用
*
1.设S和T分别为两个等差数列?a?,?b?的前n项和,若对任意n?N,都有
n
n
SnTn
?
7n?14n?27
,则
a11b11
= ________ 。
*
2.设S和T分别为两个等差数列?a?,?b?的前n项和,若对任意n?N,都有
n
n
nn
snTn
=
3n?14n?3
,则
a7b7
= ________ 。
n
n
n
n
n
T,3.有两个等差数列?a?,其前n项和分别为S,若对n?N有S?b?,
?
Tn
?
7n?22n?3
成立,求
n
a5b5
=()。
n
(七)a与S的关系问题; 1.数列?a?的前n项和S
n
n
=3n?n
2
2
,则a=___________
n
2.数列?a?的前n项和S
nn
n
=n?n?1,则an
2
=___________
3.数列?a?的前n项和S=n?2n,则a=___________
n
n
4.数列?a?的前n项和S=3n
n
n
2
?4n
,则a=___________
n
5.数列?a?的前n项和S
n
n
=2?1,则an
n
=___________
6.数列{4n?2}的前n项和S
n
=______. =______.
2
7. 数列{?4n?8}的前n项和S
n
n
n
8. 数列{a}的前n项和S=8n(八)巧设问题;
-10.则an?______
一般情况,三个数成等差数列可设:a?d,a,a?d;四个数成等差数列可设:a?3d,a?d,a?d,a?3d.
1.三个数成等差数列,和为18,积为66,求这三个数.
2.三个数成等差数列,和为18,平方和为126,求这三个数.
3.四个数成等差数列,和为26,第二个数和第三个数的积为40,求这四个数.
4.四个数成等差数列,中间两个数的和为13,首末两个数的积为22,求这四个数.