篇一：八年级数学全等三角形讲义
名思教育辅导讲义
篇二：全等三角形经典讲义
第二讲
全等三角形与 中点问题
中考要求
知识点睛
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)
见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．
重、难点
重点：主要掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法
难点：全等三角形的综合运用
例题精讲
版块一 倍长中线
【例1】 (2002年通化市中考题)在△ABC中，AB?5,AC?9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是
什么？
1
【补充】已知：?ABC中，AM是中线．求证：AM?(AB?AC)．
2
A
B
M
C
【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的
中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F．求证：?BCE≌?FDE．
A
D
F
E
B
C
【例3】 (浙江省2008年初中毕业生学业考试(湖州市)数学试卷)如图，在?ABC中，D是BC边的中点，F，
E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．求证：?BDE≌?CDF．
B
E
C
D
【例4】 如图，?ABC中，AB<AC，AD是中线．求证：?DAC<?DAB．
F
B
D
C
【例5】 如图，已知在?ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF?EF，
求证：AC?BE．
F
G
B
D
C
??，AC?A?C?，【例6】 如图所示，在?ABC和?A?B?C?中，AD、A?D?分别是BC、B?C?上的中线，且AB?AB
AD?A?D?，求证?ABC≌?A?B?C?．
A
A'
B
D
C
B'
C'
E
E'
【例7】 如图，在?ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF
于点G，若BG?CF，求证：AD为?ABC的角平分线．
FG
B
A
ED
C
【例8】 已知AD为?ABC的中线，?ADB，?ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：
BE?CF?EF．
A
EF
BDC
【例9】 在Rt?ABC中，?A?90?，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED?FD．以
线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？
A
E
B
FC
D
【例10】 如图所示，在?ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果BM2?CN2?DM2?DN2，求证
1
AD2??AB2?AC2?．
4
A
M
N
B
D
C
【例10】 (2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在Rt?ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边
CA、CB上，满足?DFE?90?．若AD?3，BE?4，则线段DE的长度为_________．
篇三：全等三角形的讲义整理讲义
全等三角形
专题一 全等三角形的性质
【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。）
【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。
【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空： (1)AB与 是对应边，BC与 是对应边， CA与 是对应边；
B
DA
C
(2)∠A与 是对应角，∠ABC与是对应角，
∠BAC与 是对应角
【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。
(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。
【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△BOD≌ ； (2)△ACD≌ .
B
D
A
E
C
【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等）
【例题2】 （海南省中考卷第5题） 已知图2中的两个三角形全等，则∠?度数是（ ）
A.72° B.60° C.58° D.50°
?A?110°，?B?40°，则BC【例题3】（清远）如图，若△ABC≌△A111，且?C1．
A1
C
B1
C1
１
【练习2】 如图，△ACB≌△A?C?B?，?BCB?=30°，则?ACA?的度数为（ ）
A 20°B．30° C．35° D．40°
B?
A
【练习3】如图，△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°到△EBC， 且∠ABD=90°。
（1）△ABD和△EBC是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。 （2）若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE的长吗？
（3）直线AD和直线CE有怎样的位置关系？请说明理由。
C
专题二 全等三角形的判定
【知识点1】SSS：三边对应相等的两个三角形全等。 简写为“边边边”或“SSS".
【例题1】如图，AB=AD，BC=CD求证：∠BAC=∠DAC。
【练习1】已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE， BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．
２
A C
B
FD
E
【知识点2】SAS:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等， 简写为“边角边”或“SAS".
【例题2】已知：如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD． 求证：DC∥AB．
【练习2】已知：如图，AE∥BF，AB=CD，AE=BF . 求证： △AEC ≌△BFD
【练习3】如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，
求证：AC⊥CE．若将CD沿CB方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，
其余条件不变，结论AC1⊥C2E还成立吗？请说明理由．
【知识点3】ASA：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等， （可以简写为“角边角”或“ASA”）
３
【例题3】已知：如图，∠AOD=∠BOC，∠A=∠C，O是AC的中点。 求证：△AOB≌△COD．
【练习4】1、如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4， 求证: ∠5=∠6．
A
2、如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2 =∠3，
AC=AE，求证：AB=AD。
3、如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向过A的直线作垂线，垂足为E，F。
（1）证明：过A的直线与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF，如图1。 （2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么
结论？请给出证明。
４
【知识点4】AAS:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等， (可以简写为“角角边”或“AAS”)
这一结论很容易由ASA推得：因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角分别对应
相等，那么第三个角必对应相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等． 所以两个三角形如果具备两个角和一条边对应相等，就可以判断其相等。
【例题4】1、下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定
也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③
2、已知：如图，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交
于点F，求证：BE=CD．
B E
A
【练习6】1、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F，△ABC面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，求DE的长．
D
2、△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．
B A E
图9
【知识点5】HL:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，（可以简写为“斜边，直角边”或“HL”） 【例题5】（1）证明两个直角三角形全等的方法有 （2）根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（）
A． AB＝3，BC＝4，AC＝8；B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30； C.∠A＝60，∠B＝45，AB＝4；D.∠C＝90，AB＝6
５
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