篇一：概率论与数理统计考试题及答案
一、填空题(每小题3分,共30分)
1、“事件A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可以表示为.
2、设P(A)?0.7,P()?0.3,则P(A?B)?________________.
3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率a
4、设随机变量X的分布律为P(X?k)?,(k?1,2,?,8),则a?_________.
8
5、设随机变量X在(2,8)内服从均匀分布,则P(?2?X?4)?. 6、设随机变量X的分布律为
X
pk
?2?1185150151 115
则Y?X2的分布律是.
7、设随机变量X服从参数为?的泊松分布,且已知E[(X?1)(X?2)]?1, 则
??8、设X1,X2,?,X9是来自正态总体N(?2,9)的样本,是样本均植,则服从的分布是
.
9、设总体X~b?10,p?,X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本,则参数p的矩估计量为 .
??10、设X1,X2,X3是来自总体X的样本,?
11
X1?X2??X3是E(X)??的无偏23
估计,则
??.
二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12
件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率;
(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率.
三、(本题12分)设随机变量X的概率密度为
0?x?3?kx,
?x?
f(x)??2?,3?x?4 (1)确定常数k; (2)求X的分布函数F(x);
?2
其它??0,
7??
(3)求P?1?X??.
2??
四、(本题12分)设二维随机向量(X,Y)的联合分布律为
Y\X012
10.10.2 0.1
2a0.10.2
试求: (1) a的值; (2)X与Y的边缘分布律; (3)X与Y是否独立?为什么?
五、(本题12分) 设随机变量X的概率密度为
?x,0?x?1,?
f?x???2?x,1?x?2, 求E?X?,D?X?.
?0,其他.?
六、(本题12分)设离散型随机变量X的分布律为
?xe??
P(X?x)?,x?0,1,2,? , 0?????
x!
其中?为未知参数,x1,x2,?,xn为一组样本观察值,求?的极大似然估计值.
七、(本题10分)某种零件的尺寸方差为?2?1.21,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米):
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03
设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米(??0.05)? (附:
t0.025?5??2.5706,t0.025?6??2.4469,t0.025?
7??2.3646,z0.05?1.65,z0.025?2.45
一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC或?? 0.3636 4、1
15、
3
2、0.6
1
4C52C6
3、或或3
11C11
X26、
pk
10
01513541 5
7、1 8、N(?2,1) 9、
110、
6
二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12
件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率;
(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率.
解 设A1,A2分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B表示取出的零件为次品,则由已知有
606505121101)??,P(A),P(B|AP,B()?P(A...............2分 1212
1101111011605505
(1)由全概率公式得
61511
|A?)P(A)P(B|)?P(B)?P(1A)P(B1......................................7分 22
1151155
(2)由贝叶斯公式得
51
P(A2)P(BA2)?5
P(A2B)??? ......................................................................12分
1P(B)115
三、(本题12分)设随机变量X的概率密度为
0?x?3?kx,
?x?
f(x)??2?,3?x?4
?2
其它??0,
7??
(1)确定常数k; (2)求X的分布函数F(x); (3)求P?1?X??.
2??
解 (1)由概率密度的性质知
??34?x?91
?f(x)dx??kxdx???2??dx?k??1
??032?24?1
故k?. .................................................................................................................................3分
6
(2)当x?0时,F(x)??
x
??
f(t)dt?0;
11
tdt?x2;
??0612x31x?t?1
当3?x?4时, F(x)??f(t)dt??tdt???2??dt??x2?2x?3;
??0632?4?x314?t?
当x?4时, F(x)??f(t)dt??tdt???2??dt?1;
??0632??
故X的分布函数为
,x?0?0
?1?x2,0?x?3?12
F(x)?? ..............................................................................9分
1??x2?2x?3,3?x?4?4?1,x?4?
当0?x?3时, F(x)??
x
f(t)dt??
x
7?15141??7?
(3) P?1?X???F???F(1)??? .............................................................12分
2?161248??2?
四、(本题12分)设二维随机向量(X,Y)的联合分布律为
Y\X012
10.10.2 0.1
2a0.10.2
试求:
(1) a的值; (2)X和Y的边缘分布律; (3)X与Y是否独立?为什么? 解 (1)由分布律的性质知
.0.?20?a.1?0?.1?01? 0
故a?0.3 ..................................................................................................................................4分 (2)(X,Y)分别关于X和Y的边缘分布律为
X012
........................................................................................................6分
p0.40.30.3
Y12
p0.40.6
.................................................................................................................8分
(3)由于P?X?0,Y?1??0.1,P?X?0?P?Y?1??0.4?0.4?0.16,故 P?X?0,Y??1??PX??0
?PY??1
所以X与Y不相互独立. .........................................................................................................12分 五、(本题12分) 设随机变量X的概率密度为
?x,0?x?1,?
f?x???2?x,1?x?2,
?0,其他.?求E?X?,D?X?. 解 E(X)??
????
3
?13??2x?
x(2?x)dx??x???x???1.............................6分
3?1?3?0?
1
2
xf(x)dx??x2dx??
12
1
篇二：2012-2013-1概率统计试题A卷及答案
2012-2013 1 学年 学期 概率论与数理统计（A卷）课程考试试题
数理学院
拟题学院（系）: 全校相关专业适 用 专 业:一、填空题（每小题3分，共15分）
1. 已知P()?0.4，P()?0.2，P(B)?0.5，则P(A?B)?_________；
2. 电灯泡的使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后，最多只有1个灯泡损坏的概率为_________；
3. 设随机变量X服从指数分布，且E(X)?2，则Var(2X?1)?_________；
4. 设E(X)?5，Var(X)?0.25，利用切比雪夫不等式估计P{3?X?7}?_________；
??x??1,0?x?15. 设总体X的密度函数为f(x)??是样本均值，则?的矩估计量为__.
其他，?0,
二、选择题（每小题3分，共15分）
1. 设A, B为两个事件，若A?B，则下列结论中（ ）恒成立；
A) 事件A与B互斥 B) 事件A与互斥 C) 事件B互斥 D) 事件与互斥
2. 掷两颗均匀骰子，则出现点数之和等于6的概率为（）；
A)
1551
B) C) D) 11113636
3．设二维随机向量(X,Y)服从区域G?{(x,y)|0?x?1, 0?y?2}上的均匀分布，则
1
； P{max(X,Y)??（）
2
7151A)B) C) D)
8884
122
4. 设X~N(1,3)，Y~N(0,4)，?XY??，则Cov(X,X?Y)?（）；
2A) 3 B) ?3 C) 6 D) 0
5. 设X1, X2, ?, Xn是总体X的一个样本，已知E(X)??，Var(X)??，是样本
2
均值，则以下不正确的是（）.
A) Xi(1?i?n)是 ? 的无偏估计量 B) 是 ? 的无偏估计量
1n
(Xi?)2是?2的无偏估计量 C) X(1?i?n)是?的无偏估计量 D) ?n?1i?1
2
i
2
三、计算题（每小题12分，共24分）
1. 甲袋中有2个白球、2个红球，乙袋中有3个白球、1个红球，先从甲袋中任取2个球放入乙袋中，然后从乙袋中任取1个球，（1）求从乙袋中取到红球的概率；（2）若已知从乙袋中取到了红球，求从甲袋中取出的2个球都是红球的概率； 2. 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)??
?Ax(1?x), 0?x?1，
试求：
0, 其他，?
（1）常数A；（2）X的分布函数；（3）P{?X?. 四、计算题（第1、2小题每小题8分，第3小题14分，共30分）
1．袋中装有标上号码1，2，2的3个球，从中任取一个，并且不放回，然后再从中任取一球，以X,Y分别表示第一、二次取到球上的号码数，求： （1）X与Y的联合分布律；（2）P{X?Y}； 2. 设随机变量X~U(0,1)，试求Y?1?e
2X
1412
的概率密度； .
3．设二维随机向量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??
?8xy, 0?x?y?1，
其他，?0,
（1）求边缘概率密度fX(x), fY(y)；（2）判别X与Y是否独立；(3)求E(XY). 五、计算题（每小题6分，共12分）
1．在总体X~N(8,20)中抽取容量为100的样本，试求样本均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率；（已知?(1.5)?0.9332, ?(0.15)?0.5596）
2
??e??x,x?0，
2. 设X1, X2, ?, Xn是来自总体X的样本，X的概率密度为f(x)?? 其
x?0，?0,
中，未知参数??0，求参数?的极大似然估计量. 六、证明题（4分）
设X1, X2, X3, X4是来自正态总体X~N(0,2)的样本，试证明：统计量
(X1?X2)2?(X3?X4)22
服从?分布，并求其自由度.
4
（答案要注明各个要点的评分标准）
一、填空题（每小题3分，共15分）
1．0.8；2. 0.104 ；3. 16. ；4. 0.9375（或15/16）；5. 二、选择题（每题3分，共15分） 1．C； 2. C ； 3. A； 4. A； 5. C. 三、计算题（每小题12分，共24分）
1．解：设Ai?{从甲袋中取出了i个红球}，i?0,1,2，B?{从乙袋中取的是红球}，则
2112C2C2C22C211
P(A0)?2?,P(A1)??,P(A)??, 222
C46C43C46
1?P(B|A0)?
1623
P(B|A1)?,P(B|A2)?……………………4分
66
（1）由全概率公式，P(B)?
?P(A)P(B|A) ……………………6分
i
i
i?0
2
1122131
???????, …………………..8分 6636663
(2)由贝叶斯公式，P(A2|B)?
P(B|A2)P(A2)
……………… 10分
P(B)
131
???3?……………12分 664
2．解：（1）
?
?
??
f(x)dx??Ax(1?x)dx?1， ……..………2分
1
x2x31A
A(?)|0??1，A?6……..………3分 236
（2）F(x)?
?
x
??
f(t)dt…………..…4分
x?0?0,
??x
???(6t?6t2)dt,0?x?1 …………..……7分
0?
x?1??1,
x?0?0,
?
??3x2?2x3,0?x?1 ………..………9分 ?1,x?1?
111112
（3）P{?X??12(6x?6x)dx? …………12分
42324
或P?X??F()?F()?
1412121411 32
121??, 323
四、计算题（第1、2小题每小题8分，第3小题14分，共30分） 1．解：(1)X?1,2;Y?1,2， P{X?1,Y?1}?0,P{X?1,Y?2}?
211211
P{X?2,Y?1}???,P{X?2,Y?2}???…………4分
323323
即联合分布律为
…………5
分
(2) P{X?Y}?P{X?1,Y?1}?P{X?1,Y?2}?P{X?2,Y?2}?0?分
2．解：X的密度函数为fX(x)??
112
?? …8333
?1,0?x?1,
…………1分
0,其他.?
y?1?e2x在区间（0,1）内，y??2e2x?0,2?y?1?e2,
11
x?h(y)?ln(y?1),h?(y)?…………4分
22(y?1)
?fX(h(y))|h?(y)|,2?y?1?e2,
fY(y)??
,其他．?0,
…………6分
?1
,2?y?1?e2?
??2(y?1)………………8分 ??
0，其他
3．解（1）fX(x)?
?
?
??
f(x,y)dy ????
?1
8xydy,0?x?12x???4x(1?x),0?x?1
??0
,其他?0,其他f?
Y(y)????
f(x,y)dx
????
?y
308xydx,0?y?1???4y,0?y?1 ??0
,其他?0,其他（2）X与Y不相互独立，因为f(x,y)?fX(x)fY(y)（3）E(XY)?
?
1
1
0dx?x
xy?8xydy?8?1
x2(1?x3)03dx?4
9
五、计算题（每小题6分，共12分）
1．解：
?X?8
2~N(0,1)， P{|X?8|?3}?P|X?8|2?3
2
?2[1??(1.5)] ?2[1?0.9332]?0.1336 2．解：对于给定样本值x1,x2,?,xn，当xi?0时，似然函数为
n
n??
L(?)???e??xi??ne
?xi
i?1
i?1
…………..2分
…………4分 …………….6分
…………8分 …………10分 …………12分
…………14分
…………2分
…………4分
…………6分
2分
………………
篇三：概率论期末考试试卷及答案
业 课
2010——2011学年度第一学期期末考查试卷(A卷)
一、单项选择题 (每小题3分, 共30分)
1、B2、A3、C4、C5、C6、C7、D8、C9、B10、C 二、填空题（每小题2分，共10分） 1、0.2 2、33、1 4、4 5、0.9938 三、解答（共60分）
1.解：以A,B分别表示挑选之人是男性和色盲的事件。 所求概率为P(AB)?
P(A)P(BA)
P(A)P(BA)?P()P(B)
1
?5%
?201?
2?5%?12?0.25%21 2.解：（1）由1????
f(x)dx????
?2x
C
??
Cedx?
2
，可得C?2 （2）F(x)?
?
x
f(t)dt???2t?dt,x?0?1?e,x?0
??
??x02e??2x?0,
x?0??
?0,x?0 （3）P(?1?X?1)?F(1)?F(?1)?1?e?2?0?1?e?2 P(?1?X?1)?1
f(x)dx?1
另解：?2e?2x?2x
1
2
?1
?
dx??e0
?1?e?3.解：ff(x,y)dy??X(x)??
??
???2x?y08dy,0?x?2???1?x?4,0?x?2
??
??
0,其他??0,其他E(X)????
xf2
x(1?x)1x2x3??
X(x)dx??
4?4(2?3)20?7
6
， 由对称性可得E(Y)?
7
6。 另解：E(X)???????22(x?y)7
????xf(x,y)dxdy??0?0x8dxdy?6 E(XY)=?????22(x?y)?????xyf(x,y)dxdy??0?0xy
8?4
3
2分）
6分）
（2分）
3分） 4分） 3分）
（2分）
（2分） （2分）（4分） （ （（ （ （
3?E(X)x??x(?x3)2?3?12?2??1??4解：E(X)?1??2?2?2?(1? （3分） ?)?1???132
3?3?25??3??故?的矩估计值是???。（2分） 2252dL(?)6226
?0，得10?4?12?5?0（3分） 似然函数为L(?)???2?(1??)???2??2?，令d?
555
该方程在(0,1)内有唯一解，易证确为最大值点，故?的最大似然估计值为。（2分）
666
5. 解：依题意可得检验的假设为
H0:??240,H1:??240 （2分）
由于总体的方差?2未知，故采用t检验，检验的拒绝域为
W?{|t|?t1??/2(n?1)?t0.975(4)?2.776} t?5(239.5?240)
??2.795由于
0.4
t??2.795
?W 所以拒绝原假设，即认为该厂生产的铝材的长度不满足设定要求。 ?6.解：（1）fX(x)??
??
f(x,y)dy????
??2104,0?x?2?1
???2,0?x?2
??0,其他??0,其他
?由对称性得：fy)??1
?2,0?y?2
Y(，??0,其他
?从而f?1
,0?x?2,0?y?2
X(x)fY(y)???4
?0,
其他由f(x,y)?fX(x)fY(y)知X,Y相互独立。 （2）P(X?Y?1)??11?x
10?04??11?x04?1
8
另解：先求X?Y的概率密度或利用几何概率的定义。
（2分）
（2分）
（2分） （2分） （2分）
2分）
（2分）
（4分）（
2009——2010学年度第一学期期末考试试卷(A卷)
一、单项选择题 (每小题3分, 共30分)
1. 下列各项不正确的是（ ）
（A）A?B?C?A?(B?C) （B）A?B?AB （C）(A?B)?B?(A?B)?B（D）
AB?(AB)??
2. 已知AB??,P(A)?P(B)?4，则（ ）
（A）P(A?B)?（B）P()?4 （C）P(A?B)?2（D） 以上都不对
3. 下列命题正确的是（ ）
（A）如果事件A发生，事件B就一定发生，那么P(A)?P(B)。 （B）概率为1的事件为必然事件。
（C）连续型随机变量的分布函数在整个实数域内都是左连续的。 （D）随机变量的数学期望反映了该变量取值的集中（或分散）程度。 4. 设随机变量X的密度函数为
??e??x,x?0;
fX(x)??
?0,其它.
其中，未知参数??0，则下述命题不正确的是（ ）
（A）X是连续型的随机变量。（B）随机变量X的分布函数在整个实数域内都连续。
（C）随机变量X的方差存在。（D）随机变量X的分布函数的取值范围是
(??,??)。
5. 已知Y??2(6)，则下列选项不正确的是（ ）
（A）P(Y?0)?2 （B）P(Y?0)?1（C）E(Y)?6 （D）D(Y)?12 6. 已知二维随机变量(X,Y)在区域D?{(x,y)|?a?x?a,?a?y?a}(a?0)上服从均匀分布，则概率
P(X2?Y2?a2)（ ）
（A）随a的增大而增大 （B）随a的增大而减小 （C）与a无关的定值（D）随a的变化增减不定
7. 下列分布不具有可加性（又叫再生性）的是（ ）
（A）二项分布（B）指数分布（C）正态分布 （D）卡方分布
8. 设随机变量(X,Y)?N(3,2,4,9,0.4)，则（ ）
（A）Cov(X,Y)?0.4 （B）Cov(X,Y)?4 （C）Cov(X,Y)?9 （D）
Cov(X,Y)?2.4
9.估计量的评选标准不包括下述的哪个选项（）
（A）无偏性（B）收敛性 （C）相合性 （D）有效性
10.在假设检验中，下列说法正确的是
（A）第一类错误又叫“受伪” 或“取伪” 的错误 （B）第二类错误又叫“拒真”或“弃真” 的错误
（C）第一类错误又叫“拒真”或“弃真” 的错误 （D）以上都不对 二、
填空题（每小题2分，共10分）
1.在10个产品中有8个次品，2个正品。现从中任取1个，则其为次品的概率为. 2.从一副52张的扑克牌中任取4张，则全是黑桃的概率为3.已知X?b(15,0.2)，则E(X).
?6e?2x?3y,x?0,y?0;
4.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??，则
其它.?0,
P(X
?0,Y??3).
5.设随机变量X,Y相互独立，且X?N(2,9)，Y??2(9)三、服从自由度为 t分布
. 证明题（共20分）
1. 已知事件A,B相互独立，且0?P(B)?1，求证：P(A|B)?P(A|).（10分）
22
2. 设X1,X2,?,Xn是来自总体N(?,?)的样本，,S分别是样本均值和样本方差，
?t(n?1) （10分）
四、计算题（计4小题，共40分）
1. 已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲，今从由10个男人和20个女人组成的人群中随机挑选
一个人，发现恰好是色盲，问此人是男人的概率是多少？（10分）
?1?(x?y)
,?(x?y)e
2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)??2
?0,?
x?0,y?0;其它.
（1）问X与Y是否相互独立；（2）求Z?X+Y的密度函数fZ(z).（10分）
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