篇一：数理统计试题及答案
一、填空题（本题15分，每题3分）
1、总体X~N(20,3)的容量分别为10，15的两独立样本均值差?~________；
2
2、设X1,X2,...,X16为取自总体X~N(0,0.52)的一个样本，若已知?0.01(16)?32.0,则
P{?Xi2?8}=________；
i?1
16
3、设总体X~N(?,?2)，若?和?均未知，n为样本容量，总体均值?的置信水平为
2
1??的置信区间为(X??,X??)，则?的值为________；
4、设X1,X2,...,Xn为取自总体X~N(?,?2)的一个样本，对于给定的显著性水平?，已知关于?检验的拒绝域为?2≤?12??(n?1)，则相应的备择假设H1为________；
2
?已知，5、设总体X~N(?,?2)，在显著性水平0.05下，检验假设H0:???0,H1:???0，
拒绝域是________。
1、N(0)； 2、0.01； 3、t?(n?1)
2
2
1
2
Sn
2
； 4、?2??0； 5、z??z0.05。
二、选择题（本题15分，每题3分）
1、设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，?是未知参数，以下函数是统计量的为（
）。
13
（A）?(X1?X2?X3) （B）X1?X2?X3 （C）X1X2X3（D）?(Xi??)2
3i?1?
1n22
.,Xn为取自总体X~N(?,?)的样本，X为样本均值，Sn??(Xi?)2，2、设X1,X2,
ni?1
1
则服从自由度为n?1的t分布的统计量为（ ）。 （A）
n?1(X??）n(X??）n(X??)n?1(X??)
（B） （C）（D）
??SnSn
2
2
1n
(Xi?X)2, 3、设X1,X2,?,Xn是来自总体的样本，D(X)??存在， S??n?1i?1
则（ ）。
（A）S2是?2的矩估计
（B）S2是?2的极大似然估计
（D）S2作为?2的估计其优良性与分布有关
（C）S2是?2的无偏估计和相合估计
22
4、设总体X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2)相互独立，样本容量分别为n1,n2，样本方差分别2222为S12,S2，在显著性水平?下，检验H0:?1的拒绝域为（ ）。 ??2,H1:?12??2
（A）
2s2
s12
2s2
?F?(n2?1,n1?1)（B）
2s2
s12
2s2
?F
1?
?
2
(n2?1,n1?1)
（C）
s12
?F?(n1?1,n2?1)（D）
2
s12
?F
1?
?
2
(n1?1,n2?1)
5、设总体X~N(?,?2)，?已知，?未知，x1,x2,?,xn是来自总体的样本观察值，已知?的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平??0.05时，检验假设H0:??5.0,H1:??5.0的结果是（ ）。
（A）不能确定 （B）接受H0（C）拒绝H0 （D）条件不足无法检验 1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B.
?2x0?x??
?,
三、（本题14分） 设随机变量X的概率密度为：f(x)???2，其中未知
其他??0,
参数??0，X1,?,Xn是来自X的样本，求（1）?的矩估计；（2）?的极大似然估计。 解：(1) E(X)????xf(x)dx??0
??
?2x
2
x??，
3?2
2
???)???，得?令E(X
(2)似然函数为：L(xi,?)??
i?1n
2
33
为参数?的矩估计量。 2?2n
2xi
?2?2n
0?xi??,(i?1,2,?,n)， ?xi，
i?1
n
??max{X,X,?,X}。 而L(?)是?的单调减少函数，所以?的极大似然估计量为?12n
四、（本题14分）设总体X~N(0,?2)，且x1,x2?x10是样本观察值，样本方差s2?2， （1）求?的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知Y?
2
X2
?2
?X2?
?~?(1)，求D???3?的置信??
2
22
水平为0.95的置信区间；（?0。 .975(9)?2.70，?0.025(9)?19.023）
解：
?1818???，即为（0.9462，6.6667）（1）?的置信水平为0.95的置信区间为；
??2(9),?2(9)?
0.975?0.025?
2
?X2?1?X2?122
?=???（2）D?； DD[?(1)]?2??3??2??2??2
?????
?22??X2?22??， ???由于D?是的单调减少函数，置信区间为,??3??2?22?
????
即为（0.3000，2.1137）。
五、（本题10分）设总体X服从参数为?的指数分布，其中??0未知，X1,?,Xn为取自总体X的样本， 若已知U?
Xi~?2(2n)，求： ??i?1
2
n
（1）?的置信水平为1??的单侧置信下限；
（2）某种元件的寿命（单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。
22(?0)?44.985,?0.05(31.10(32)?42.585)。
解：(1) ?P?
?2n??
??2n???2
???(2n)??1??,?P???2??1??,
???(2n)????
2n2?16?5010；（2）???3764.706。 2
42.585??(2n)
即?的单侧置信下限为?
六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度X~N(10,1)，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L），标准差为1.2（mg/L），问该工厂生产是
22
否正常？（??0.05,t0.025(9)?2.2622,?0.025(9)?19.023,?0.975(9)?2.700）
解：（1）检验假设H0：?=1，H1：?≠1； 取统计量：??
2
22
(n?1)s2
2
?0
；
拒绝域为：?2≤?
21?
?
2
2222
(n?1)??0.975(9)=2.70或?≥??(n?1)??0.025=19.023，
2
经计算：??
2
(n?1)s2
2
?0
9?1.22??12.96，由于?2?12.96?(2.700,19.023)2，
1
故接受H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为?2=1。
?：??10，H1?：??10； 取统计量：t?（2）检验假设H0
10.8?101.2/X?10S/~ t?(9)；
2
拒绝域为t?t0.025(9)?2.2622；?t??， ?2.1028<2.2622 ，所以接受H0
即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L）。
综上，认为工厂生产正常。
七、（本题10分）设X1,X2,X3,X4为取自总体X~N(?,42)的样本，对假设检验问题
H0:??5,H1:??5，（1）在显著性水平0.05下求拒绝域；（2）若?=6，求上述检验所犯
的第二类错误的概率?。 解：(1) 拒绝域为z?
?54/4
?
?5
?z0.025?1.96; 2
（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当?=6时，接受H0的概率为
??P{1.08??8.92}???
?8.92?6??1.08?6?
??????0.921。 22????
八、（本题8分）设随机变量X服从自由度为(m,n)的F分布，(1)证明：随机变量自由度为(n,m)的F分布；(2)若m?n，且P{X??}?0.05，求P{X?证明：因为X~F(m,n),由F分布的定义可令X?与V相互独立，所以
1
服从 X
1
?
}的值。
U/m
，其中U~?2(m),V~?2(n)，UV/n
1V/n?~F(n,m)。 XU/m11
当m?n时，X与服从自由度为(n,n)的F分布，故有P{X??}?P{X?，
X?111
从而 P{X??P{??}?1?P{??}?1?P{X??}?1?0.05?0.95 。
?XX
篇二：应用数理统计复习题及答案(2013)
应用数理统计复习题及答案（2013）
一 填空题 1
设
X1,X2,?,X
6
是总体
2
X~N(0,1)
的一个
2
样本，
Y?(X1?X
2
?X3)?(X
2
4
?X
5
?X6)。当常数C?
13
时，CY服从?分布。
2 设统计量X~t(n)，则X
2
~，
1X
2
~
12(n-1)
3 设X1,X2,?,Xn是总体X~N(u,?)的一个样本，当常数C=
2
时，
n?1
S
2
?C?(X
i?1
i?1
?Xi)为?
22
的无偏估计。
4 设y????x??
(?~N(0,?))，(xi,yi)(i?1,2,?,n)为观测数据。对于固定的x0，
2
则???x0
~
????1
N????x0,??
??n??
???
?x0?x
??n
?
?(xi?x)?i?1?
??
2
2
?
?
? 。 ???
5．设总体X 服从参数为?的泊松分布，1.9，2，2，2.1， 2.5为样本，则?的矩估计值为??＝ 2.1。
6．设总体X~N(?,?),X1,X2,...,Xn为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的
2
??22
n?1Sn?1S??????
,2置信区间为 ?2 。 ???n?1????n?1?
???1??22?
7．设X服从二维正态N2(?,?)分布，其中??????,
?1?
?Y1
令Y＝??Y
?2
??1?????0??
2???X，则Y的分布为 N2?
?0?
?1????
?2
T
2??? 8??1A??
?0
2?
? (要求写出分布2?
?A?,A?
A
?
的参数)
8．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）：
表1 因素水平表
表2 极差分析数据表
则（1）较好工艺条件应为 A2B2C1D2E 1 。
（2）方差分析中总离差平方和的自由度为 。（3）上表中的第三列表示A?B交互作用 。
9．为了估计山上积雪溶化后对河流下游灌溉的影响，在山上建立观测站，测得连续10年的观测数据如下表（见表3）。
??2.356?1.813x??,?~N?0,4.01? 则y关于x的线性回归模型为y
12
10设总体X~U(?,??1),X1,X2,...,Xn为样本，则θ的矩估计量为 x?估计量为
max{X1,X2,…,Xn} 。
，极大似然
12设总体X在区间[?,??1]上服从均匀分布，则?的矩估计???x?
12
；D(??)?
112n
。
13设X1,?,Xn是来自正态总体N(?,?)的样本，?,?均未知，??0.05. 则?的置信度为1??的置信区间为?x?
?
2
2
22
?
2
?
2
?n?1?,x?
2
2
?
2
?n?1??；若?为
?
?
已知常数，则检验假设H0:?
X
2
??0?H1:???0,（?0已知），的拒绝域为
??1??(n-1)。
2
14设X服从p维正态Np(?,?
)分布，X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则?
??的最小方差无偏估计量?
1
n
i
2
??xn
i?1
??
?X
??服从Np?0,?/n?
15设（X1，?，Xn）为来自正态总体X~Np(?,?)的一个样本,?已知。对给定的检
验水平为?，检验假设H0:?
???
拒绝域为?u?u??
1?
?2??
??0?H1:???0
，（?0已知）
。
二 计算及证明题
1 设X1,X2是来自总体X~N(u,?)的一个样本。 （1）证明X1?X2，X1?X2 相互独立
2
（2）假设u?0，求
(X1?X2)(X1?X2)
22
的分布
证明：（1）因为：x1，x2均服从x~N（u，σ2） 所以：x1-u/σ~N（0,1） X2-u/σ~N(0,1) （X1-u/σ+X2-u/σ）~N（0,2）X1+X2-2u/σ~N（0,2） 即：X1+X2~N（2u，2σ2） X1-X2/σ~N（0,2） X1-X2~N(0,2σ2)
（2）u=0，X1+X2~N(0,σ) X1-X2~N(0,σ)
X1?X即??
??
2
?
?~X?
2
2
2
?1?
?X1?X?
??
2
?
?~X?
2
2
?2?
?F?
?X1?X2???/n1
????X1?X2???/n2
???
2
~F(n1,n2)?F(1,1)?
?X1??X1?
X2?X2?
22
~F(1,1)
2 设
1m
X1,X2,?,X
m
n
是总体
n
X~N(0,1)的一个样本，求统计量
Y?
(?Xi)?
i?1
2
1n?m
(
?
Xi)的抽样分布。
2
i?m?1
解：
Xi~N(0,1)
__
1?m1?n??????Y???Xi????Xi??m?X1???
n?m??Y1?
m?i?1n?m??????i?m?1?
2
2
2
2
2
??????X1???
??
_
?
?
1???
??
?
_
2
_
??????
2
?
_
2
__
?_
~N?
0,1??
~X2
_
~N?
0,1?
2
?
X??
???Y~X
2
2
??
1??
???
Y~X
2
?1?
?2?
3 设总体X~E(?)（指数分布），X1,X2,?,Xn是总体的一个样本，证明
n
2??X
i?1
i
~?(2n)
2
4 设总体X~P(?)（泊淞分布），X1,X2,?,Xn是总体的一个样本，X和S为样本均值和样本方差，试求
（1）X1,X2,?,Xn的联合分布律 （2）E(X),D(X),E(S)
n
2
2
解：?1?P?X1?X1,X2?X2,???,Xn?Xn??
n
?P?X
i?1
i
?Xi?
n
?
?
i?1
?
xi
Xi
??
?
?
n
?
i?1
Xi
e
?n?
?
i?1
Xi!
?2??Xi?i?1,2,???n?
?E?Xi???,D?Xi???EXE?S
??
2
?1
?E?
?n
n
?
i?1
n
?1??
Xi??E??Xi???,DX?n?i?1?n
??
?1
?D?
?n
n
?
i?1
??
Xi??n?
2
?
?1
?E??Xi?X
n?1i?1?
??
2
1?2
?EXi?2XiX?X??
?n?1i?1
n
??
篇三：数理统计试卷及答案
数理统计考试试卷
一、填空题（本题15分，每题3分）
1、设X1,X2,?,Xn是取自总体X~N(0,1)的样本,则Y??Xi~________。
i?1
2
n
2
2、设总体X~N(?,?2)，X是样本均值，则D(X)________。
3、设总体X~N(?,?2)，若?未知,?已知，n为样本容量，总体均值?的置信水平为
2
1??的置信区间为(X?
?
n
2
?,X?
?
n
?)，则?的值为________。
4、设总体X~N(?,?2),?已知，在显著性水平0.01下，检验假设H0:??u0,H1:??u0， 拒绝域是________。
5、设总体X~U[0,?],??0为未知参数，X1,?,Xn是来自X的样本，则未知参数?的矩估计量是______。
二、选择题（本题15分，每题3分）
1、设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（
（A）X?Y服从正态分布
2
2
2
）
2
（B）X?Y服从?2布 （D）X/Y都服从F分布
2
2
2
（C）X和Y都服从?分布
2、设X~N(1,9)，X1,X2,...,X9为取自总体X的一个样本，则有（ ）。（A） （C）
X?1X?1
~N(0,1) （B）~N(0,1) 13X?1X?1
~N(0,1) （D）~N(0,1) 93、设X服从参数为p的(0-1)分布，p?0是未知参数，X1,X2,...,Xn为取自总体X的样本，
X
2
为样本均值，Sn
1n
??(Xi?)2，则下列说法错误的是（ ）。 ni?1
2
（B）Sn是D(X)的矩估计
（A）是p的矩估计
（C）2是E(X2)的矩估计
（D）(1?)是D(X)的矩估计
4、设总体X~N(?,4),由它的一个容量为25的样本，测得样本均值?10，在显著性水平0.05下进行假设检验，??(1.96)?0.975?，则以下假设中将被拒绝的是（ ）。
（A）H0：??9 （B）H0：??9.5（C）H0：??10（D）H0：??10.5 5、设总体X~N(?,?2),样本容量为n，已知在显著性水平0.05下，检验H0:???0,
H1:???0的结果是拒绝H0，那么在显著性水平0.01下，检验H0:??u0,H1:??u0
的结果（ ）。
（A）一定接受H0 （B）一定拒绝H0（C）不一定接受H0 （D）不一定拒绝H0 三、（本题14分） 设灯泡寿命X服从参数为?的指数分布，其中??0未知，抽取10只测得寿命（单位：h）x?990，求：（1）?的极大似然估计量；（2）P{X?1290}的矩估计值。 四、（本题14分）假设0.50,1.25,0.80,2.00是来自总体X的样本值，已知Y?lnX~N(?,1)。（1）求?的置信水平为0.95的置信区间；（2）求E(X)的置信水平为0.95的置信区间；（z0.05?1.645，z0.025?1.96）。
五、（本题10分）为了考查某厂生产的水泥构件的抗压强度（kg/cm2），抽取了25件样品进行测试，得到平均抗压强度为415（kg/cm2），根据以往资料，该厂生产的水泥构件的抗压强度X~N(?，202)，试求?的置信水平为0.95的单侧置信下限； （z0.05?1.645，z0.025?1.96）。
六、（本题14分）随机地从一批钉子中抽取16枚，测得：x?2.125（以厘米计）， 设钉长服从正态分布，求总体均值?的90%的置信区间： （1）若已知??0.01厘米；（2）若?为未知。
（z0.05?1.645，z0.025?1.96，t0.05(15)?1.7531, t0.025(15)?2.1315）。
七、（本题10分）在漂白工艺中要考察温度对针织品断裂强度的数据，在70℃和80℃下分别重复作了8次试验，设两种温度下断裂强度分别为X，Y，测得数据（单位：kg）为：
22
问是否可以认为70℃下的断裂强度与80℃下的断裂强x?20.4,SX?6.2,y?19.4,SY?5.8；
度有相同的方差？（??0.05,F0.025(7.7)?4.99）
八、（本题8分）设总体X 服从[?,2?]上的均匀分布，证明：??为参数?的无偏估计。
一、填空题（本题15分，每题3分）
?2
1、?(n)； 2、； 3、Z?； 4、z?z0.05 ； 5、2。
n2
2
二、选择题（本题15分，每题3分） 1、C； 2、A； 3、C； 4、A； 5、B.
三、（本题14分）解：
(1) 似然函数为 L(xi,?)??i?1n
1
?
xi
?
?，x
i
?0
ndlnLn1
???(?xi)2?0， d???i?1
lnL??nln??
1
?
?xi，令
i?1
n
1n
???。 得???xi?， 即?的极大似然估计量为?ni?1
???990，而P{X?x}?1?P{X?x}?1?(1?e（2）由于E(X)??，得?
所以P{X?1290}的矩估计值为e
四、（本题14分）解：
?1290
990
?
x
?
)，
?e
?
4333
。
??111?z?,?z??。?(ln0.5?ln1.25?ln0.8?ln2)?0, （1）?的置信区间为??4n2n2???
故总体均值?的置信区间为(-0.98, 0.98)。 （2）E(X)?E(eY)??
??1
2
??ye??
f(y)dy?
12?
?
??y?
ee??
(y??)2
2
dy
2??1
??
?e2??
?
12?
?
[y?(??1)]2
2
dy
?e
由于e
??12
；
??
12
是?的单调增加函数，所以E(X)?e的置信区间为(e
??
11
?2，e2
)，
即为(e?0.48，e1.48)。
五、（本题10分）?的单侧置信下限为???
?
n
z?，?= 408.44，
即以0.95的置信水平断定水泥构件的抗压强度至少为408.44（kg/cm2）。
六、（本题14分）
解：(1) 已知?=0.01，当?=0.10时，取Z?=1.645，
2
于是 ?
?
n
Z?=2.125±1.645×
2
0.01
=2.125±0.004， 4
故总体均值?的90%的置信区间为(2.121, 2.129)。 (2) 未知?，当?=0.10时，取t0.05(15)=1.7531， 于是 ?
s0.1711
×1.7531=2.125±0.0075 t?(n－1)=2.125±
n2
故总体均值?的90%的置信区间为(2.1175, 2.1325)。
七、（本题10分）
2222
解：选用F检验。作出假设H0 :?1，H1 : ?1。 ??2??2
对?=0.05， F?(n1–1, n2–1)=F0.025(7.7)=4.99，
2
F
1?
?
2
(n1–1，n2–1)=F0.975(7.7)=
11
?=0.20。
F0.025(7.7)4.99
于是,拒绝域为F≥4.99或F≤0.20。 经计算，得 F=
2SX2SY
的观测值为：F?
6.2
?1.069没有落在拒绝域内，故接受H0。 5.8
八、证明题（本题8分）证明：∵ 总体X服从[?,2?]上的均匀分布，
?1??x?2?2???3?
∴ f(x)=?? ∴ E（x）= =?
22其它??0
n
2221
而E(??) = E(X) =E(X) =E(?Xi) = ? ，故 ??为?的无偏估计。
33ni?13
中南大学考试试卷（时间：100分钟 闭卷）
《数理统计I》(补考) 24学时 1.5 学分 2008级(第三学期) 总分：100分 一、填空题（本题15分，每题3分）
1、设X1,X2,?,Xn是取自总体X~N(0,1)的样本,则Y??Xi~________。
i?1n
22
2、设总体X~N(?,?2)，X是样本均值，则D(X)________。
3、设总体X~N(?,?2)，若?未知,?已知，n为样本容量，总体均值?的置信水平为
2
1??的置信区间为(X?
2
?
n
?,X?
?
n
?)，则?的值为________。
4、X~N(?,?2),?已知，在??0.01下，检验H0:??u0,H1:??u0，拒绝域是____。 5、设X~U[0,?],??0未知，则未知参数?的矩估计量是______。 X1,?,Xn来自X的样本，二、选择题（本题15分，每题3分）
1、设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（
（A）X?Y服从正态分布
2
2
2
）
2
（B）X?Y服从?2布 （D）X/Y都服从F分布
2
2
（C）X和Y都服从?2分布
2、设X~N(1,9)，X1,X2,...,X9为取自总体X的一个样本，则有（ ）。（A） （C）
X?1X?1
~N(0,1) （B）~N(0,1) 13X?1X?1
~N(0,1) （D）~N(0,1) 93、设X服从参数为p的(0-1)分布，p?0是未知参数，X1,X2,...,Xn为取自总体X的样本，
X
2
为样本均值，Sn
1n
??(Xi?)2，则下列说法错误的是（ ）。 ni?1
2
（B）Sn是D(X)的矩估计
（A）是p的矩估计
（C）2是E(X2)的矩估计
（D）(1?)是D(X)的矩估计
4、设总体X~N(?,4),由它的一个容量为25的样本，测得样本均值?10，在显著性水平0.05下进行假设检验，??(1.96)?0.975?，则以下假设中将被拒绝的是（ ）。
（A）H0：??9 （B）H0：??9.5（C）H0：??10（D）H0：??10.5 5、设总体X~N(?,?2),样本容量为n，已知在显著性水平0.05下，检验H0:???0,
H1:???0的结果是拒绝H0，那么在显著性水平0.01下，检验H0:??u0,H1:??u0
的结果（ ）。
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