篇一：概率统计 期末考试试题及答案
试题 班 姓 学第 1 页
《概率论与数理统计A》期末试题及答案
一、简单计算（每个题5分，共25分）
1. 设A,B为两事件，且P(A)?p，P(AB)?P(AB)，求P(B). 解：由于P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B) …………2分 而P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) …………2分 所以P(AB)?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)?P(AB) 即P(A)?P(B)?1
因而P(B)?1?P(A)?1?p…………1分 2. 设随机变量X的分布律为
Y
X?1pi02
，而Y?3X?5，求 的分布函数.
X?1pi02
，所以Y?8pi解：由于
?5
1 …………2
分
?0,?1?,?
所以Y的分布函数为 FY(y)??2
?5,?6?1,?
y??8,?8?y??5,
?5?y?1,y?1.
…………3分
1
3. 设总体X~N(5,4)中随机抽取一容量为25的样本，求样本均值X落在4.2到5.8之间的概率. 解: 由于X~N(5,4), 所以X~N(5,
4) 25
………2
分
所以P(4.2?X?5.8)?2?(2)?1?0.9772?2?1?0.9544
………3
分
4. 设9名足球运动员在比赛前的脉搏（12秒）次数为
111312 13 11 1212 13 11
2
假设脉搏次数X服从正态分布，X?12, ??4，求?的置信水平为
0.95的置信区间.
解：由于X?12, ?2?4，??0.05，?的置信区间为
(X?Z?
?
n
,X?Z?
?
n
)
…………3
分
即为(10.6933,13.3067). …………2分 5. 设总体X服从泊松分布，X1,X2,,X10是来自X的样本，求参数?的矩估计.
解: 由于X~P(?),所以E(X)??
110
而X??Xi …………2分
10i?1
所以由矩估计的思想得: E(X)?X …………2分
101??参数?的矩估计为:??Xi …………1分 10i?1
2
二、计算题（每题6分，共30分） 概率论与数理统计A 试题 班级 姓名 学号第2 页
x??1,?0,
?a,?1?x?1,?
1. 设离散型随机变量X的分布函数为 F(x)??2?a,1?x?2,
?3?
x?2.?a?b,
且P(X?2)?.（1）求常数a,b；（2）求X的分布律.
解: (1)由分布函数的性质得a?b?1,而且P(X?2)? …………2分 所以a?b?(?a)?2a?b??,则a?,b?. …………1分
X?1
pi12
…………3分 23
23
12
16
56
12
12
(2)X的分布律为
2. 已知随机变量X~B(1,p),Y~B(1,p)，而X,Y相互独立. （1）求U?max(X,Y)的分布律；（2）求V?X?Y的分布律． 解: 联合分布律:
(X,Y)(0,0)
pij(1?p)2
(0,1)p(1?p)
(1,0)p(1?p)
(1,1)
p2
…………2
分
U?max(X,Y)的分布律为:
U0pi(1?p)2
1
1?(1?p)2
…………2
分
V?X?Y
的分布律为:
V0
pi(1?p)2
12(p?p2)2 2p
…………2
3
分
3. 已知随机变量X~U(3,4)，求Y?eX的概率密度函数.
解：Y?eX的反函数h(y)?lny …………2分
?1,y其概率密度函数为fY(y)?fX(h(y))?h?(y)????0,?
e3?y?e4,其它.
…………4分
4. 设总体X服从指数分布，参数为?，X1,X2,,Xn是来自X的样本，求?的最大似然估计量．
解：由于X~e(?)，则X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个样本， 似然函数为L??
i?1n
e
1?xi
?
?
?
1
?
1
?
n
e
n
?
?xi
i?1
n
…………3分
而lnL??nln??
dlnLn1
???2
d???
?x
?
i?1
1
i
…………1分
?x
i?1
n
i
?0,
…………2
??X. 所以 ?
分
5. 设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本，
Y?a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2，
若统计量Y服从?2分布，则常数a,b分别为多少？统计量Y的自由度为多少？
解：由于X1?2X2~N(0,20)3X3?4X4~N(0,100)
所以a(X1?2X2)~N(0,1) ，所以a? …………3分
b(3X3?4X4)~N(0,1)，所以b?.…………2分
所以Y~?2(2)，其自由度为2. …………1分
4
三、（9分）设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占 试题 班级 姓名 学号第 3 页
45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件，
（1）求取到的是次品的概率；
（2）经检验发现取到的产品是次品，求该产品是甲厂生产的概率. 解:设事件Ai(i?1,2,3)分别表示任取一件产品,该产品来自于甲、乙、丙厂, 设事件B表示取到的是次品．
(1)P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)
?0.45?0.04?0.35?0.02?0.2?0.05
?0.035………2分
P(A1)P(B|A1)0.45?0.04
(2) P(A1|B)???0.514
P(B)0.035
………5………2
分
分
四、（12分）设随机变量X的概率密度函数为
?x,
?
f(x)??x?1,
?0,?
0?x?1,1?x?2, 其它.
（1）求随机变量X的分布函数；（2）令Y??3X?5，求?XY；（3）判断X，Y独立性.
解： FX(x)????f(t)dt
x?0,?0,
?x2
x?tdt?,0?x?1,
??02
??2
?1tdt?xt?1dt?x?x?1,1?x?2,
?1??02
?
x?2.?1,
…………6分
x
………2分
5
篇二：《概率统计》试题及答案
7．设样本X1,X2,?,Xn来自正态总体N(?,9)，假设检验问题为H0:??0;H1:??0，则在显著性水平?下，检验的拒绝域为W
?
二、选择题（每小题3分，共15分）
?Z?。 2
1
设连续型随机变量X的概率密度和分布函数分别为p(x),F(x)，则下列选项中正确的是（ C）
（A）0?p(x)?1（B）
p(X?x)?F(x) （C）p(X?x)?F(x) (D)p(X?x)?p(x) 2．设随机变量X,Y的相关系数?XY?0，则下列结论不正确的是（ B ）
（A）D(X?Y)?D(X)?D(Y)（B）X?a,Y?b（a,b为任意常数）必相互独立 （C）(X,Y)可能服从二维均匀分布 （D）E(XY)?E(X)E(Y) 3．设随机变量序列X1,X2,?,Xn,?独立同分布，且
E(Xi)??,D(Xi)??2,??0,i?1,2,?，?(x)为标准正态分布函数，则对于任意实
?n?
X?n????i?
?x??（ C ） 数x，有limPn???
????
（A）0 （B）?(x)（C）1??(x)（D）1
4．记F1??(m,n)为自由度m与n的F分布的上1??分位点，则有（ C ）
1
F?(m,n)
1
（C）F?(n,m)?
F1??(m,n)
（A）F?(n,m)?
1
F1??(m,n)1
（D）F?(n,m)?
F1??(n,m)
（B）F1??(n,m)?
5．设总体X~N(?,?)，其中?未知，X1,X2,?,X4为来自总体X的一个样本，则以下关于?的四个估计量中是无偏估计量的是（ D ）
2
14111121
（A）X1 (B)X1?X2?X3 (C)X1?X2 (D) ?Xi
4i?1555667
三（10分）、设有两种报警系统Ⅰ与Ⅱ，它们单独使用时，有效的概
率分别为0.92与0.93，且已知在系统Ⅰ失效的条件下，系统Ⅱ有效的概率为0.85，试求：
（1）系统Ⅰ与Ⅱ同时有效的概率；（2）至少有一个系统有效的概率。
答案：(1)设A,B分别表示系统Ⅰ与系统Ⅱ有效 ---------------2分 则由题意知：
p(A)?0.92,p(B)?0.93，p()?0.08
又已知p(B)?
p(B)?p(AB)0.93?p(AB)
??0.85，
p()0.08
所以 p(AB)?0.93?0.08?0.85?0.862， -------------6分 即系统Ⅰ与Ⅱ同时有效的概率为p(AB)?0.862 --------------8分 (2) 至少有一个系统有效的概率为
p(A?B)?p(A)?p(B)?p(AB)?0.92?0.93?0.862?0.988------------10分
四（11分）、设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为
?21
?x?xy,0?x?1,0?y?2,
p?x,y??? 3
?0,其.?
（1）求(X,Y)分别关于X和Y的边沿概率密度pX(x),pY(y);
（2）判断X与Y是否相互独立；（3）计算p?X?Y?1?。 答案：（1）边沿概率密度为
xy)dy,?? 0(x2?1
3
pX(x)??P(x,y)dy??
-?
?0, 其它,
??
2
0?x?1;
?
?22
?2x?x,0?x?1
3?-------------3分 ?0,其它?
pY(y)??
??
-?
xy)dx,?? 0(x2?1
3
p(x,y)dx??
?0, 其它,
1
0?y?2;
??1?y,??36??0,
0?y?2其它
----------6分
（2）由于p(x,y)?pX(x)pY(y),故X与Y不独立。 -------8分 （3）p?X?Y?1??
121652
f(x,y)dxdy?dx(x?xy)dy? ----------11分 ???? 0 1-x372x?y?1
五（10分）、设离散型随机变量X的分布律为：
2
令Y?X，求：(1)D(X)；(2) D(Y)；(3)COV(X,Y
)
111
?0??1??0, 4241111
E(X2)??(12?)???2??，
4242
12
所以D(X)?E(X2)??E(X)?? -------------4分
2
1111
(2)E(Y)?(?1)2??0??12??,
42421111
E(Y2)??(14?)???4??，
4242
122
所以D(Y)?E(Y)??E(Y)??--------------7分
4
1131233
(3) E(XY)?E(XX)?E(X)?(?1)??0??1??0
424
1
所以 COV 0 ---------------10分 (X,Y)?E(X?Y)E(X)E(?Y)?00?
2
答案：(1)E(X)?(?1)?
六（10分）、设总体X服从参数为N,p的二项分布，p未知，
x1,x2,?,xn为来自总体X的容量为n的样本观察值。求：
（1）未知参数p的矩估计值； （2）未知参数p的最大似然估计值。
答案：（1）由题意知X~B(N,p)， E(X)?Np ----------------2分
1n??， 令?Xi??E(X)?Np，得p的矩估计量为p
ni?1N
??所以p的矩估计值为p
（2）X的概率分布律为
。 ---------------6分 N
x
p(x,p)?CNpx(1?p)N?x,(x?0,1,2,?,N)，X1,X2,?,Xn为来自总体X的样本，
所以似然函数为L(p)?
?p(x,p)??C
i
i?1
i?1
nn
xi
N
p(1?p)
xiN?xi
?(?C)p
xiN
i?1
n
?
i?1
n
xi
nN?
(1?p)
?
i?1
n
xi
lnL(p)??lnC??xilnp?(nN??xi)ln(1?p)------8分
xiN
i?1
i?1
i?1
n
nn
dlnL
令 ?
dp
?x
i?1
n
i
p
?
nN??xi
i?1
n
1?p
?0
??得p
?x
i?1
n
i
nN
?
??-------10分 ，所以p的最大似然估计值为 p
NN
七（10分）、一台自动车床加工的零件长度X（单位：cm）服从正态分布N(?,?)，从该车床加工的零件中随机抽取4个，测得样本方差
2
s2?
22
，试求：总体方差?的置信度为95%的置信区间。（保留3位有效数字） 15
2222
,?0（附：?0.025(3)?9.348,?0.975(3)?0.216,?0.025(4)?11.143.975(4)?0.484）
答案：因为?未知，所以设??
2
(n?1)s2
?2
~?2(n?1) --------------3分
?2?(n?1)s22
???(n?1)??1?? 由 p???(n?1)?21???22?
得方差?2的置信度为95%的置信区间为
??22
(n?1)s??(n?1)s
?2 ----------------7分 ,2
?
???(n?1)?1??(n?1)??22?
22
(3)?9.348,?2?(3)?0.216,s2?， 由已知，得n?4,??0.05,??
1?1522
23?22
(n?1)s0.4(n?1)s0.4
计算得2??0.043，2???1.852
??(n?1)9.348??(n?1)0.2160.216
2
1?
2
所以，总体方差?2的置信度为95%的置信区间为（0.043，1.852） ---------10分
八（10分）、电池在货架上滞留的时间不能太长，已知某商店随机
选取的8只电池的货架滞留时间（以天计）的样本观察值?132，标
2
2
?未知。在显著性水平??0.05准差s?21.078，设数据来自正态总体N(?,?)，?，
下检验假设
H0:???0?125，H1:???0
参考数据：
t0.05(7)?1.895,t0.05(7)?1.860,t0.025(7)?2.36,t0.025(7)?2.31
篇三：概率统计试卷2答案
一、填空题
1．已知P(A)?0.8,P(AB)?0.5,且事件A与B相互独立，则P(B)?．
Y
2．若二维随机变量(X,Y)的联合概率分布为
X?11
?101
，且X与Y相互
0.08a0.120.12b0.18
独立，则a? 0.2 ；b? 0.3 .
3．已知随机变量X~U(0,2)，则D(X)2? 1 ．
[E(X)]
3
4．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞平均数是7300，均方差是700。设X表示每毫升白细胞数，利用切比雪夫不等式估计P{5200?X?9400}?8 .
9
11
?2?(bX1?X2?X3)是总体(X1?aX2?X3)，?
46
均值的两个无偏估计，则a? 2 ，b?4．
?1?5．设X1,X2,X3是总体X的样本，?
二、单项选择题
1．甲、乙、丙三人独立地译一密码，他们每人译出密码的概率分别是0.5，0.6，0.7，则密码被译出的概率为 （A ）
A. 0.94B. 0.92 C. 0.95D. 0.90
2．某人打靶的命中率为0.8，现独立射击5次，则5次中有2次命中的概率为（ D ） A. 0.82B. 0.82?0.23
22
C. ?0.82D. C5?0.82?0.23
5
3.设随机变量X和Y独立同分布，X~N(?,?2),则（ B ） A. 2X~N(2?,2?2)B. 2X?Y~N(?,5?2) C. X?2Y~N(3?,3?2)D. X?2Y~N(3?,5?2)
4．对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?E(X)?E(Y)，则（ B）. A. D(XY)?D(X)?D(Y)B.D(X?Y)?D(X)?D(Y) C.X和Y独立D.X和Y不独立
5．设 X~N??,?2?，其中?已知，?2未知，X,X,X为其样本， 下列各项不是
123统计量的是（ A ）.
A.1(X2?X2?X2) B.X?3?
231
?21
C.max(X,X,X) D.1(X?X?X)
123123
3
6．在假设检验中，H0表示原假设，H1表示备择假设，则称为犯第二类错误的是（C ）.A.H1不真，接受H1 B.H0不真，接受H1
C.H0不真，接受H0 D.H0为真，接受H1
三、某公司有200名员工参加一种资格证书考试，按往年经验，该考试通过率为0.8.试用中心极限定理计算这200名员工至少有150人通过考试的概率.
解：设X表示200名员工中通过考试的员工数，则X~B(200,0.8)，
近似
E(X)?200?0.8?160，D(X)?200?0.8?0.2?
32,~N(0,1)，
P{X?150}?P??1??(1.77)??(1.77)?0.9616 四、某一城市有25%的汽车废气排放量超过规定，一废气排放量超标的汽车有0.99的概
率不能通过城市检验站的检验。而一废气排放量未超标的汽车也有0.17的概率不能通过检验，求（1）汽车未通过检验的概率（2）一辆未通过检验的汽车废气排放量确实超标的概率。
解：设事件B表示汽车废气排放量超标，A表示汽车未通过检验，
则P(B)?0.25，P(B)?0.75，P(A|B)?0.99，P(A|B)?0.17， （1）P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?0.25?0.99?0.75?0.17?0.375 （2）P(B|A)?
0.25?0.99P(B)P(A|B)
??0.66
0.375P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)
|x|?1
其它
?Ax2
五、. 已知连续型随机变量X的概率密度为f(x)??
?0
求 (1)系数A。（2）P{?解：（1）因为?所以 A?
3
2
1
??
11
?X?}．(3)分布函数F(x) 22
?1?1
??
f(x)dx?1，（2分）即 ?
x3?12
Axdx?A|?1?A?1
33
2
11311
（2）P{??X?}??21x2dx?x3|21?
?2?222822
1
（3）F(x)??
x
??
f(t)dt
x??
当x??1时，F(x)??f(t)dt??0dt?0
??
x??
x
当?1?x?1时，F(x)??
f(t)dt
??0dt?
??
?1
?
x
?1
321x131tdt?t3|?x? 1?2222
x??
当1?x时，F(x)??f(t)dt??0dt?
??
?1
?
1
?1
32
tdt?2
?
x
1
0dt?1
??
所以F(x)??
??
0131x?22
1
x??1?1?x?1x?1
?Ae?(2x?3y),x?0,y?0
六、设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??
0,其它?
（1）确定常数A；（2）求边缘概率密度fX(x)及fY(y)，并判断X与Y是否独立 （3）求(X,Y)的分布函数 解：（1）由概率密度的性质?
????
????
?
f(x,y)dxdy?1，应有
1??
??
dx?
??
11A
Ae?(2x?3y)dy?A????1，（1分）于是A?6，即
236
?6e?(2x?3y),x?0,y?0
f(x,y)??
其它?0,（2）fX(x)??
??
??
?2e?2x,x?0
f(x,y)dy??
0,其它?
fY(y)??
??
??
??
?(2x?3y)?dy,y?0?3e?3y,??06e
f(x,y)dx????
?0,其它?0,?
y?0其他
因为fX?x?fY?y??f?x,y?，所以X与Y相互独立. （3）F(x,y)??dx?
0x
y
xy
?(2u?3v)?dv,x?0,y?0??0du?06e
f(u.v)ddv??
?0,其它?
?(1?e?2x)(1?e?3y),
??
0,?
x?0,y?0其他
?(1?e?2x)(1?e?3y),
或F(x,y)?FX(x)FY(y)??
0,?
x?0,y?0其他
??x
七、设总体X的概率密度为f(x,θ)??
??0
?1
0?x?1其它
,θ未知.X1，X2,?,Xn是来
自X的样本,试求θ的矩估计量.
解：
μ?E（X）??
??
??
xf(x,θ)dx??x0
1
1
dx??
?
,由此得 22μ???? ， 所以θ θ22（1?μ）（1?八、检查一批保险丝，抽取10根，通过强电流后测得熔化平均熔化时间x?63.4,标准差s
?11.1475，已知熔化时间服从正态分布，在熔化时间少于65秒？
解：（1）由x?63.4?65，得：H0:μ?65，H1:μ?65，
n?10，tα(n?1)?t0.05(9)?1.8331，x?63.4，s?11.1475，
检验统计量为：T?
下，能否认为这批保险丝的平均
拒绝域为W??T??t?(n?1)???T??
1.8331?
t?
?
??0.4539??1.8331
t?W，所以接受H0，
认为这批保险丝的平均熔化时间不少于65秒.
22
九、从总体X~N??1,?1?和总体Y~N??2,?2?中分别抽取容量为n1?10,n2?16的独立样本，
已知sx?56.5,sy?52.4。求?12
22
2
的置信水平为95%的置信区间。 2
2
?12S12/S2S12
解：2的置信度为1??的置信区间为：(2F?(n2?1,n1?1))
F?(n1?1,n2?1)S22?2
2
??0.05,F?(n1?1,n2?1)?F0.025(9,15)?3.12,，
2
F?(n2?1,n1?1)?F0.025(15,9)?3.77
2
2
S12/S256.5/52.4
??0.3456，
F?(n1?1,n2?1)3.122
S1256.5F(n?1,n?1)??3.77?4.0650 212?S2252.4
?12
的置信度为1??的置信区间为：(0.3456，4.0650) 2?2
十、为研究某一化学反应过程中温度x对产品质量指标y的影响，测得数据如下：
假设x和y之间呈线性相关关系，即y?a?bx?ε，?~N0,?2. 求 (1)LXX , LYY , LXY (2) 变量Y倚X的回归方程 （3）样本相关系数，并判断其相关方向和密切程度
1n
解：（1）?xi?1450， ?x?218500，Lxx??x?(?xi)2?8250
ni?1i?1i?1i?1
2
i
2i
n
n
n
??
1n
yi?673,?y?47225,Lyy??y?(?yi)2?1932.1 ?ni?1i?1i?1i?1
2
i
2i
n
1n
xiyi?101570，Lxy??xiyi?(?xi)(?yi)?3985 ?ni?1i?1i?1i?1n
n
nnn
（2）x?145，y?67.3,
Lxy????2.735 ??y?bxb??0.4830, aLxx
?x??2.735
?0.483x ??a??by（3）r?
L?0.9981.
因为0.8?r?1，所以X和Y是高度线性相关，且为正相关。
十一、（6分）设X1,X2,?,X9为来自正态总体X的简单随机样本，记
111922
Y1??X1?X2???X6?，Y2??X7?X8?X9?，S???Xi?Y2?，
632i?7
Z?
?Y1?Y2?．证明：统计量Z服从自由度为2的t分布．
S
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