篇一：概率论
概率论与数理统计(工科)
练习题四
一. 填空题(共10小题,每题2分,共计20分)
1. 设A与B是随机事件，已知P(A)?0.5，P(B)?0.6，P(B)?0.8，则 P(A?B)? .
2. 随机事件A1,A2,A3,A4相互独立，且P(Ai)?1(i?1,2,3,4)，则 i?2
P(A1?A2?A3?A4)? .
3. 设随机变量X的概率分布律为 X -1 012 p 0.1 0.3 0.2 0.4
2则P{X?1}?4. 设离散型随机变量X服从参数为?(??0)的泊松分布，且已知 P(X?3)?P(X?2)，则?= .
5. 设随机变量X服从正态分布N(2,?2)，且P{2?X?4}?0.3，则 P{X?0}6. X为随机变量,且E(X)??1,D(X)?3,则E[4(X2?2)]?_________.
27. 设二维随机向量(X,Y)，已知D(X)?4,D(Y)?9,?XY??，则 3
cov(X,Y)?.
8. 已知总体X~N(?,?2),X1,X2,?,Xn是来自正态总体X的样本，记
2nSn1n2S??(Xi??)，则2~ni?1?2
n
??xa?1,0?x?1,9. X1,X2,...,Xn是来自总体X~? (??0)的样本，则其似然?0,x?0,x?1
函数L(x1,x2,...,xn;?)?____________.
10. X1,X2,?,Xn是来自正态总体X~N(?,?2)的一个样本，当?未知时，?2的置信度为1??的置信区间为 .
二. 选择题(共5小题,每题2分,共计10分)
在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.
1. 设A与B为两个事件，0?P(A)?1，且P(A)=1，则（ ）一定成立.
（A）P(AB) = 0；（B）AB??； （C）B?A； （D）P(B) =1.
2. 某人打靶的命中率为0.8，独立射击5次恰好命中两次的概率为（ ）.
22（A）0.82?0.23；（B）0.82； （C?0.82?0.23； （D）C5?0.82?0.23. 5
3. 设随机变量X~N(1,1)，其概率密度为f(x)，分布函数为F(x)，则有（ ）
（A）P{X?0}?P{X?0}?0.5； （B）f(x)?f(?x)；
（C）P{X?1}?P{X?1}?0.5；（D）F(x)?1?F(?x).
14. 已知随机向量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)?2πe?x2?(y?1)2
，则（ ）
（A）(X,Y)服从指数分布；（B）X与Y不独立；
（C）cov(X,Y)?0；（D）X与Y相互独立.
5. 已知F~F(n,m)，且P{F?F?(n,m)}??，则F1??(n,m)?（ ）
（A）1111； （B）；（C）；（D）. F?(n,m)F1??(m,n)F?(m,n)F1??(n,m)
三. 计算题(共5小题,每题8分,共计40分)
1. 某工厂有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品中，不合格品各占5%，4%，2%，现从该厂的产品中任取一件恰是不合格品，问此不合格品是机器甲生产的概率是多少？
2. 设随机变量X的概率分布律为 X 1 234
p 1/15 2/5 1/5 b
（1）确定b的值；（2）求分布函数F(x)；（3）求P{2?X?4}
?ax?b3. 已知随机变量X的概率密度函数f(x)???00?x?17，且E(X)?。 12其他
（1）求常数a,b；（2）求X的分布函数F(x)；（3）求D(X)。
4. 公共汽车的车门高度是按男子与车门顶碰头的机会在1%以下来设计的，设男子的身高X服从正态分布（单位：cm），已知男子平均身高为170 cm，标准差为6 cm。求车门高度至少应设计为多少？
（?(1)?0.8413，?(2.33)?0.99,?(2.58)?0.995）
5. 设随机变量X与Y相互独立，且其密度函数分别为
?2?x2e?fX(x)????00?x???其它?2?y2e?，fY(y)????00?y???其它，
求Z?X2?Y2的密度函数。
四. 应用题(共3小题,每题8分,共计24分)
1. 某种电池的寿命（小时）服从均值为100的指数分布，某人购买了100只这
?(1)?0.8413 种电池。求他购买的100只电池的总寿命超过11000小时的概率。
2. 设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；
发生二次故障可获利润0万元；发生三次或三次以上故障亏损2万元。求一周内期望利润是多少？
3.某企业生产的高温杀菌牛奶标注每盒含钙110毫克，现质检局从市场抽查了该企业生产的这种牛奶20盒，测得每盒含钙量的平均值x?110.65，样本方差S2?6.0552，已知牛奶的含钙量服从正态分布，问该企业生产的这种牛奶的含钙量是否与其标注一致？(?=0.01).
(t0.005(19)?2.861,t0.005(20)?2.845,?(2.33)?0.99,?(2.58)?0.995)
五. 证明题(共1小题,每题6分,共计6分)
设随机变量X的密度函数f(x)为偶函数，其分布函数为F(x)，试证：对任意实
a1数a，有F(?a)???f(x)dx。 20
篇二：概率论
回顾概率论与数理统计第一章 展望第二章
一旅七队
李强 1302010059
通过开学至今对概率论与数理统计第一章的学习，我明白此门学科是研究随
机现象规律性的一门数学学科，它也是各种工科专业，尤其是经济管理等各专业
的一门基础理论课。本课程是由概率论和数理统计两部分组成。概率论是丛数量
上研究随机现象的规律性，它是本课程的理论基础。数理统计是研究处理随机数
据，建立有效的统计方法，进行科学的统计推断。通过本课程的学习，使我们掌
握概率论与数理统计的基本概念与方法，从而使我们初步掌握处理随机现象的基
本思想与方法，培养我们运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。
第一章的主要内容为：随机事件及其概率，重点讲述古典概型的定义（概念）
及相关问题的处理与解决方法还有条件概率与其独立性。
有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。例如：掷一次硬币的实
验（质地均匀的硬币），只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认
为出现正面或反面的可能性是相同的；如掷一个质地均匀骰子的实验，可
能出现的六个点数每个都是等可能的；又如对有限件外形相同的产品进行 抽样检验，也属于这个模型。是概率论中最直观和最简单的模型；概率的
许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。一个试验是否为古典概型，
在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同
时具备这两个特点的概型才是古典概型。其特点可以概括为：
1、 实验的样本空间只包括有限个元素；
2、
具有以上两个特点的实验是大量存在的，这种实验叫等可能概型，也叫古
典概型。
求古典概型的概率的基本步骤为：
（1）算出所有基本事件的个数n；
（2）求出事件A包含的所有基本事件数m；
（3）代入公式P(A)=m/n，求出P（A）。
条件概率是指在同一个样本空间 Ω 中的事件或者子集 A 与 B，如果随机
从 Ω 中选出的一个元素属于 B，那么下一个随机选择的元素属于 A 的概
率就定义为在 B 的前提下 A 的条件概率。当且仅当两个随机事件 A 与
B 满足 P(A∩B)=P(A)P(B).的时候，它们才是统计独立的，这样联合概率
可以表示为各自概率的简单乘积。同样，对于两个独立事件 A 与 B 有
P(A|B) = P(A)以及P(B|A) = P(B)换句话说，如果 A 与 B 是相互独立的，
那么 A 在 B 这个前提下的条件概率就是 A 自身的概率；同样，B 在 A
的前提下的条件概率就是 B 自身的概率。条件概率的公式为：
P(A|B) = P(AB)/P(B)
根据以上公式，基本可以解决习题当中遇到的很多问题，另外也要注 意其互斥性，即：
当且仅当 A 与 B 满足 P(A∪B)=P(A)+P(B)
且 P(A∩B)=0， 的时候，A 与 B 是互斥的。
因此， 换句话说，如果 B 已经发生，由于 A 和B不能在同一场合
下发生，那么 A 发生的概率为零；同样，如果 A 已经发生，那么 B 发
生的概率为零。以上是对第一章内容的总结。
通过本章学习，我们基本掌握了概率论与数理统计的学习方法，明白了“只 要功夫深，铁杵磨成针”的道理，对于这门课程学习的本身难度并不大，只 要我们潜心学习，按要求完成任务，就能收到良好的效果，同时对接下来要学习 的内容有了心理准备，空闲时间，我也对第二章的内容进行了预习，取得了一定 的收获。
第二章的主要内容是随机变量及其分布，这也是本章主要的研究对象。 首先，通过预习，我了解了随机变量表示随机现象（在一定条件下，并不总 是出现相同结果的现象称为随机现象）各种结果的变量（一切可能的样本点）。
例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫 次数等等，都是随机变量的实例。了解“什么是随机变量”是本章学习的基础， 通过判断变量的类型，便于我们寻找问题的相关解决办法，否则，遇到问题我们 将无从着手。然而，要全面地了解一个随机变量，不但要知道它的定义，或 者取哪些值，而且要知道它取这些值的规律，这就引入了它的概率分布问 题。
概率分布可以由分布函数刻画。若知道一个随机变量的分布函数，则
它取任何值和它落入某个数值区间内的概率都可以求出。 有些随机现象需要同时用多个随机变量来描述。例如 ，子弹着点的位 置需要两个坐标才能确定，它是一个二维随机变量。类似地，需要n个随 机变量来描述的随机现象中，这n个随机变量组成n维随机向量。描述随 机向量的取值规律 ，用联合分布函数。随机向量中每个随机变量的分布函 数，称为边缘分布函数。若联合分布函数等于边缘分布函数的乘积 ，则称 这些单个随机变量之间是相互独立的。独立性是概率论所独有的一个重要 概念。那么，随机变量及其分布具有哪些性质呢？
随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，其可能取各种 不同的值，具
有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为
随机变量。随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。如分析测试中的测定
值就是一个以概率取值的随机变量，被测定量的取值可能在某一范围内随机变
化，具体取什么值在测定之前是无法确定的，但测定的结果是确定的，多次重复
测定所得到的测定值具有统计规律性。随机变量与模糊变量的不确定性的本质差
别在于，后者的测定结果仍具有不确定性，即模糊性。 简单地说，随机变量是
指随机事件的数量表现。例如一批注入某种毒物的动物，在一定时间内死亡的只
数；某地若干名男性健康成人中，每人血红蛋白量的测定值；等等。另有一些现
象并不直接表现为数量，例如人口的男女性别、试验结果的阳性或阴性等，但我
们可以规定男性为1，女性为0，则非数量标志也可以用数量来表示。这些例子
中所提到的量，尽管它们的具体内容是各式各样的，但从数学观点来看，它们表
现了同一种情况，这就是每个变量都可以随机地取得不同的数值，而在进行试验
或测量之前，我们要预言这个变量将取得某个确定的数值是不可能的。 按照随机变量可能取得的值，可以把它们分为两种基本类型：1离散型随 机变量，即在一定区间内变量取值为有限个，或数值可以一一列举出来。例如某 地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。2连 续性随机变量，即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。 例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶 测定值等，内容相当广泛，我们要灵活多变，学会具体问题具体分析。
概率论与数理统计的发展方向是更加实用，基于多元函数、通过建立数学模
型来分析解决问题，理论更加严密，应用更加广泛，发展更加迅速。
通过一个多月老师的教学，使我初步了解了概率论与数理统计的基本概念和
基本理论，知道了处理随机现象的基本思想和方法，有助于培养自己解决实际问
题的能力和水平。
篇三：概率论
习题6.1
1.设X1,X2,?,X6是来自服从参数为?的指数分布E???的样本，试写出样本的联合概率密度.
??e??x,x?0
解：X~f(x)??
?0,其他????x?6
f?x1,x2,?,x6????ei?1
?0?
6
x1,x2,?,x6?0
其他
2.设X1,X2,?,X6是来自?0,??上的均匀分布的样本，??0未知，试写出样本的联合密度函数.
???6
解：f?x1,x2,?,x6???
?0
0?x1,x2,?,x6???6
其他
3．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为?的泊松分布，从产品中抽一个容量为n的样本X1,X2,?,Xn，求样本的联合分布律.
?kie
?i?1 ki?0,1,?，i?1,2,?,n, 解：P?X1?k1,X2?k2,?,Xn?kn??
k1!k2!?kn!
?n?
n
4．设总体X~B(1,p),(X1,X2,?Xn)为总体的一个容量为n的简单随机样本，求样本的联合分布律.
解：P?X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn??p
?
i?1n
xi
n?
(1?p)
?xi
i?1
n
xi?0,1 i?1,2,?,n
5. 设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：日售出台数k 2 3 4 5 6 天数fk2030102515 求样本容量n以及经验分布函数Fn(x).
6. 某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育.今从中抽取1600人的随机样本，求：
（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率；
（2）样本中受过高等教育的人的比率在19%和21%之间的概率. 解：（1）?Xi近似N(1600?10%,1600?10%?90%)
i?1
~
1600
11600?176?160?PX?11%}?P{X?176}?1?????0.0918??ii
1600i?1?12?i?1
1600i?11600
（2）?Yi近似N(1600?20%,1600?20%?80%)
~
11600P{19%??Yi?21%}
1600i?1
?P{304??Yi?336}
i?1
1600
?336?320??304?320?????????
1616????=0.6826
习题6.2
?2未知，1．设X1,X2,???,Xn是来自总体N(?,?2)的一个样本，其中?已知，指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？
n
Xi??21n1n1nXi?X222
T1??(Xi??),T2??(),T3??(Xi?X)，T4??()
ni?1?ni?1ni?1?i?1
解：T1,T3是统计量（不含未知参数），T2,T4不是统计量（含未知参数?2） 2．设X1,X2,?,X6是来自?0,??上的均匀分布的样本，??0未知 （1）写出样本的联合密度函数；
（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？
T1?
X1?X2???X6
,T2?X6??,T3?X6?E?X1?,T4?max?X1,X2,?,X6?
6
（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差.
???6
解：（1）f?x1,x2,?,x6???
?0
0?x1,x2,?,x6??
其他
（2）T1，T4是（不含未知参数），T2和T3不是（含未知参数）
（3）样本均值?0.8
样本方差s2＝0.0433 样本标准差s?0.2082
3．从某班级的英语期末考试成绩中，随机抽取10名同学的成绩分别为：
100，85，70，65，90，95，63，50，77，86
（1）试写出总体，样本，样本值，样本容量； （2）求样本均值，样本方差及二阶原点矩. 解（1）总体：该班级所有同学的英语期末考试成绩X；
样本：（X1，X2，X3，…，X10）
样本值：(x1,x2,?,xn)=（100，85，70，65，90，95，63，50，77，86） 样本容量：n=10
（2）=78.1 s2＝252.5 a2＝6326.9
习题6.3
1. 设(X1,X2,?,X7)是取自正态总体X~N(0,0.52)的样本，则
P{?Xi2?4}?i?17
.
答案：0.025
因为??
72
1
?
2i
2
?X
i?1
7
2i
~?2(7)
7
1
故P{?X?4}?P2
0.5i?1
2
??0（7）?16.013 .025
?Xi2?
i?1
42
?P{??16}?0.025 2
0.5
2. 设总体X～N（0，12），从总体中取一个容量为6的样本(X1,X2,?,X6)，设Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2，试确定常数C，使随机变量CY服从?2分布.
解：因为各Xi相互独立，所以X1?X2?X3~N(0,3),X4?X5?X6~N(0,3)
X1?X2?X3
~N(0,1),
X4?X5?X6
~N(0,1),
Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2
?3X1?X2?X3
)2?(
X4?X5?X6
3
)2]
X?X2?X32X?X5?X6212
Y?(1 )?(4)~?（2）3故C?
1
3
1
，则（ ） X2
3. 设随机变量X~t(n)(n?1),Y?
（A）Y~x2(b)
（B）Y~x2(n?1)
（C）Y~F(n,1) 答案：C 因为X?
U/n
（D）Y~F(1,n)
~t(n),其中U~N(0,1),V~?2(n),且U,V相互独立
又由U~N(0,1),U2~?2(1)且U2,V相互独立
Y?
1V/n?~F(n,1) 22XU/1
习题6.4
1. 从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？
62
解：X~N(3.4,)
n
?n??5.4?3.4??1.4?3.4?
??1?0.95 P{1.4?X?5.4}?????????????2????
?6/n??6/n??3??n?
??0.975???1.96?，n?1.96 ???3?3??
故样本容量n至少应取35
2. 设总体X服从正态分布N(μ1,σ2),总体Y服从正态分布
N(μ2,σ2),X1,X2,?Xn1和 Y1,Y2,?Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则
22n2?n1?
??(Xi?X)??(Yj?Y)?i?1j?1?? .E???n1?n2?2??????
答案：?2
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