篇一：向量法求异面直线的距离解法探求
向量法求异面直线的距离解法探求
空间异面直线的距离问题是立体几何的重点，难点，同时也是历届高考试题的热点问题。
如何很好地利用向量法求解这类问题又是一个值得探讨与研究的问题。下举例谈谈向量法求解这类问题的基本方法与策略。
一、 定义法：
0例1、如图1，正方形ABCD与ABEF成60的二面角，且
正大光明方形的边长为，M，N分别为BD，EF的中点，求异
面直线BD与EF的距离。
解析：选取为AD,AF,AB,基向量。显然AD,AF的夹
角为60，AB,AD的夹角为90，AB,AF的夹角为90，11111?MN?MD?DF?FN?BD?DF?FE?(AD?AB)?(AF?AD)?AB?AF
?AD22222
2111?MN?BD?(AF?AD)（?AD?AB）?AF?AD?AD?AF?AB?AD?AB?222
11a2cos600?a2?0?0?0,?MN?BD,即MN?BD.又MN?FE?(AF?AD)?AB22
1?AF?AB?AD?AB?0?MN?EF,即MN?EF2000从而MN为异面直线BD与EF的公垂线。
2221113?||2??(?)2?????a2?a2cos600?a2?a2||?a,24442
异面直线BD与EF的距离为a。 2
点评：本题利用向量数量积定义，很好地证明MN为异面直线的公垂线。然后利用向量
模与数量积的关系，巧妙进行了模与向量的转化，解法自然，回味无穷。
二、射影法：
分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的
法向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模设为d，从而由公式d?
例2、如图2，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，
PA?底面ABCD,PA?3AB?3a，求异面直线AB与PC的距离。
解析：以A为坐标原点，AB为x轴建立如图所示的直角坐标系，则B
（a,0,0）,C(a,a,o),P(0,0,3a)，则AB?(a,0,0),PC?(a,a,?3a)，
设AB,PC的公垂线的方向向量为n?(x,y,z)由
??x?0?n?AB?ax?0??，不妨令x=0,y=1,z=3则有?y?3z??n?PC?ax?ay?3az?0?
n?(0,1,3)，又AP?(0,0,3a)，∴AB与PC间的距离为：d??9a9?a。 10点评：异面直线公垂线难于确定时，可用向量法求异面间的距离。这种方法的关键是利
用待定系数法确定公垂线的方向向量n。
三、公式法
设异面直线AE，BF所成的角为?，设d为异面直线的公垂线，E，F为直线AE，BF上
任一点，若能求出||的长，从而有
：
d?例３、如图，已知二面角?????的大小为60, A ，C分
别为平面?,?内一点，过Ａ、Ｃ分别作棱?的垂线，垂足为Ｂ，
Ｄ，若ＡＣ＝６，ＣＤ＝ＡＢ＝４，求异面直线ＡＢ与ＣＤ的
距离。
解析：由已知异面直线ＡＢ，ＣＤ所成的角为６０
０,BD?AB,BD?CDBD从而知ＢＤ为异面直线的公垂线。 0
?|AC|2?AC?AC?(AB?BD?DC)?(AB?BD?DC)
?AB?BD?DC?2(AB?BD?AB?DC??BD?CD）
?AB?BD?DC?2AB?DC?|AB|2?|BD|2?|DC|2?2|AB|?|DC|cos600
?|BD|2??|AC|2?(|AB|2?|DC|2?2|AB|?|DC|cos600)?20,?|BD|?2Ｂ与ＣＤ的距离为2。
点评：利用异面直线两点的距离公式求异面直线的距离主要是理解公式中的具体涵义，
特别要注意“±”的确定及两异面直线所成的角与二面角的大小关系。
四、转化法
如图4，过其中一条异面直线b上的一点A作与另一条a平
行的直线a1，于是异面直线的距离就可转化为直线 a到平面?
的距离，最后可转化为在直线 a上取一点到平面?的距离。从
而可借用向量的射影法求解。
例４、如图5，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠
0222222即异面直线ＡABC=60，PA=AB=a，PB=PD=2a,点E在PD上，且PE:ED=2:1.
求异面直线PB与CE的距离。
解析：由PE:ED=2:1知，在BD上取点F使BF：BD=2：1，易知
PB//EF，从而PB//平面CEF，于是只需求直线PB到平面CEF的距离，
即可求点P到平面CEF的距离。以A为坐标原点，AD为y轴,建立
如图所示的直角坐标系，由已知, P（0,0,a）C(1121a,a,0), F(a,a,0),E(0,a,a)则226233
2211PE?(0,a,?a),CE?(a,a,?a),CF?(?a,0,0)，332633
?11n?CE?ax?ay?az?0?x?0?23设平面CEF的法向量为n?(x,y,z)则?，于是???3?y?2z?0?n?CF??ax?0?3?
令
d?x=0,y=－2,z=1，则n?(0,?2,1)∴PB|??到平面CEF间的距离为：4a2a??|2?25a，从而异面直线
PB
与CE的距离为a。 55点评：本题较好地通过线面平行将异面直线的距离转化为线面距，进而利用平面内任斜
线方向向量到平面一法向量的投影成功求得点面距即为所求的异面直线的距离。转化巧妙，
关键是构造法向量。
五、最值法
在两异面直线a,b上分别任取两点A，B，建立AB的模的目标函数，函数的最小值即为所求。
例５、设正方体AC1的棱长为1，E，F，M分别为B1C1， C1 D1，
A1B1的中点，求异面直线EF与AM 的距离。
解析：设N为A1D1的中点，连MN， AN，BE，FD，BD，易证平
面BDEF//平面ＡＭＮ，于是问题转化成Ａ点到平面ＢＥＦＤ的距
离。如图6，以Ｃ为坐标原点，ＣＢ为x 轴建立直角坐标系。设
Ｐ为平面ＢＥＦＤ内任一点。由Ｐ、Ｂ、Ｄ、Ｅ四点共面，则有：
11AP?aAB?bAD?cAE?a(0,?1,0)?b(?1,0,0)?c(?,?1,1)?(?b?c,?a?c,c)22 1b?c?a?c1924且a?b?c?1,?||2?(b?c)2?(a?c)2?c2?2[]2?c2?(c?)2?22899
422?,?|AP|?.?异面直线的距离为.933
点评：本题在利用空间图形间的距离定义的基础上构建图形上任意两点所在方向向量模的目标函数，转求函数的最小值，匠心独运，值得欣赏。
六、待定系数法
将异面直线通过转化成面面距或线面距，最终转求点面距时，关键是求作垂足点的位置即平面的垂线。由空间向量的基本定理方向可采用待定系数法设法求得垂线段所在的方向向量使问题加以解决。
如例题5可作ＰＡ⊥平面ＥＦＤＢ于Ｐ，由Ｐ、Ｂ、Ｄ、Ｅ四点共面，则有：
11?a?b?c?a(0,?1,0)?b(?1,0,0)?c(?,?1,1)?(?b?c,?a?c,c)22
5且a?b?c?1......①又由??0?b??c......②??0?a??3c......③ 2
2122由①②③得:c??,??(?b?c,?a?c,c)??(2,2,1),?||?9293
点评：当异面直线的距离转化为点面距时，垂足点的位置不好确定时，可结合共面向量定理、向量垂直的充要条件等转化成方程组来求解，往往会起到意想不到的效果。
篇二：点到直线距离公式的向量推导方法
当前位置：人教网2010>>高中数学>>学生中心>>解题指导
谈“点到直线距离公式”的向量推导方法
贵州省黄平县旧州中学 杨胜万
在人教大纲版高二数学上册中,关于点到直线距离公式的推导方法,教材介绍了两种推导方法,并详细给出了利用直角三角形的面积公式推导得出点到直线的距离公式的具体过程。其实关于点到直线的距离公式的推导方法，除上述方法之外，还有其它很多方法，在这些方法中，向量法（利用平面向量的有关知识来推导的方法）是一种行之有效的推导方法。其推导思路简单明了、运算量也较小。下面笔者给出向量法推导点到直线的距离的具体过程，以供同行参考： 已知直线：和点，为点到直线的距离。现不妨设且，则直线的斜率为，其方向向量为，从而易知其法向量 ，又设点为直线
上的任一点（如图所示），于是有：
由平面向量的有关知识，可得：
显然，当或时，上述公式仍成立。
上述推导方法利用了向量的数量积知识来进行推导出了点到直线的距离公式，这是一种比较重要有数学思想方法。我们还可将这种思想方法进一步推广到在立体几何中，如何利用空间向量解决求点到平面的距离问题。
2007-11-22 人教网
关闭
打印
推荐给朋友
大 中 小
【上一篇】平面向量性质的变形及应用
【下一篇】数值比较中数学思想方法例话
篇三：向量法求空间角及距离
用向量方法求空间角和距离
空间角和距离是最基本的两个几何量，空间图形中各元素的位置关系都可以用这两个几何量来定量地描述，因此，有关空间角和距离的计算，是立体几何的一类重要问题，是历年来高考考查的重点，本文运用向量方法简捷地解决这些方法。
一． 求空间角问题 1． 求异面直线的夹角
设a,b分别为异面直线a,b的方向向量，则由向量的数量积可知，异面直线a,b的夹角由cos??
|a?b|
得出。
|a||b|
【例1】 在三棱锥S?ABC中，?SAB??SAC?
?ACB
?90,AC?2，BCSB
① 证明：SC?BC
② 求异面直线SC与AB所成角?的余弦值。（2002年高考题）
解析： ① 由题意得：SC?CB?(SA?AC)?CB?SA?CB?AC?CB?
0A
故：SC?BC
③ 由SC?AB?(SA?AC)?(AC?CB)?|AC|2?4 |AB|SA|?SC|?4,故:cos??
B
|SC?AB|?|SC|?|
AB|
【例2】 如图，在正方体ABCD?A1BC11D1中，P是DD1的中点，O,M,N分别是面A1B1C1D1，BB1C1C,ABCD的 中心，求异面直线PN和OM所成的角.
解析： 建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，取正方体的棱长为2， 则P(0,0,1),N(1,1,0),M(1,2,1),O(1,1,2)
由PN?OM?(1,1,?1)?(0,1,?
1)?2|PN|?|OM|?故PN与OM
所成的角?满足cos??
|PN
?OM|，即???
3|PN|?|OM|
2． 求二面角
如图，设n1,n2是二面角??l??的两个半平面的一个法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，法向量n1,n2的夹角为?，就是二面角??l??的平面角：cos??角。
【例3】 如图，四棱锥P?ABCD的底面是边长为a的正方形，
n1?n2
,据此，只要求得二面角两个半平面的异侧法向量，即可得到二面角的平面角。要注意调整好向量的方向，使其夹角为二面角的平面
|n1|?|n2|
PB?面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD
与面PCD所成的二面角恒大于90。
解析：建立如图所示的空间直角坐标系P?xyz，设P(0,0,b)，依题意有：
y
C,a(,0,D0)a,a(A(0,a,0)，设n1?(x,y,z)是面PAD的一个法
??n1?PA?0?ay?bz?0
向量，则?即? 令y?b
??n1?PD?0?ax?ay?bz?0
??n2?PC?0?ax?bz?0
得n1?(0,b,a)，设n2?(x,y,z)是面PCD的一个法向量，则?即?
ax?ay?bz?0??n2?PD?0?
令x??b，得n2?(?b,0,?a)，由n1?n2??a2?0 得cos??0,即无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角?恒大于90。 【例
1
4】 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S?ABCD中，?ABC?90，SA?面ABCD,SA?AB?BC?1,AD?,求面
2
SC与面DS所成的二面角AB?的正切值。
解析：建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，则S(0,0,1),C(1,1,0)， D(
1
,0,0)n?(x,y,z)是面SCD的一个法向量，则 ，设2
??n?SD?0?x?2z?0?即?令x?2得n?(2,?1,1)，
x?y?z?0??n?SC?0?1
又知AD?(,0,0)是面SAB的一个法向量，
2
x
n?AD所以cos??。 ?tan??
2|n|?|AD|3
【例5】 在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PD?底面ABCD，且PD?AD?a,问
:
平面PAB与平面PBC能否垂直？说明之。
解析：由PD?底面ABCD，得PD?AD,PD?CD,设DC?b(b?a), 设平面PAB的法向量n1?DP??DA??DC，则n1?AB?0
即(DP??DA??DC)?AB?0，所以?DC?AB?0,所以??0, 又n1?AP?0，即(DP??DA??DC)?AP?0，所以：(DP??DA??
D)C?(D?P
a2
所以：(DP)??(DA)?0,所以??2?1,所以： D?)A 0
a
2
2
PBC的法向量为：n2?DP?mDA?nDC，则n2?BC?0,n1?DP?D，设平面A
a2a2
n2?PC?0，同理得：n2?DP?2DC，所以n1?n2?(DP?DA)?(DP?2DC)?a2，
bb
故平面PAB与平面PBC不可能垂直。
D为CC1 上的点，且CC1?3C1D，求二面角B?B1D?A的大小。【例6】 如图，底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC?A 1B1C1，?C?90,AA1?AC，
解析：建立如图所示的空间直角坐标系C?xyz，设AA1?AC?3,则： A(0,3,0B),1
(3,0D,3),，设(0,n0?,(2)y,z)为平面ADB1的一个
x,
??0??3y?2z?0?n?AD
法向量，则?即?令x?1,得n?(1,?2,?3)，易知平面BB1D的一个法向量为CA?(0,3,0)，所
以
??n?A1B?0
?3x?3y?3z?0cos?n,CA??
n?CA|n|?|CA|
??
7 B?B1D
?A为：arccos7
。 【点拔】 二面角问题通过法向量的引入，使复杂的添加辅助线不必进行，解题一下子变得轻松易懂。
3．求线面角
如图，设AB是平面?的斜线，n是?的一个法向量，C是垂足，则向量AB在n
上的射影长为： |BC|?
|n?AB||n|，AB与平面?的夹角?满足：sin??|BC||n?AB||n?AB|
|AB|?|n?||AB即,|sin??|n|?|AB|
或：cos??
|AB?AC|
|AB|?|AC|
，据此，只须求得平面?的一个法向量n及向量AC或
BC，即可求
得斜线AB与平面?的夹角?。
【例7】如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为?
，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。
解析：建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，则A(0,0,0),B(a2,
,0),
免费论文网友情提示：本网站所有内容为共享上传提供，不涉及任何商业利益，本站对此不承担任何保证责任！
Copyright © www.csmayi.cn Corporation, All Rights Reserved 共享时代 共享你我他 版权所有