篇一：高等数学偏导数第三节题库
【090301】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数z?arctan【试题答案及评分标准】
x?y
的全微分。 1?xy
z?arctan
x?y
?arctanx?arctany??
1?xy
?z1?,?x1?x2dz?
?z1
?
?y1?y2
（8分）
11
dx?dy 22
1?x1?y
（10分）
或dz?
1?x?y?1????x?y?
2
?
(1?xy)(dx?dy)?(x?y)(?ydx?xdy)
2
(1?xy)
（8分） （10分）
?
11
dx?dy 22
1?x1?y
【090302】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数z?ln(x?y?e)的全微分。 【试题答案及评分标准】
2
2
xy
?z2x?yexy?,?xx2?y2?exy
dz?
?z2y?xexy
?
?yx2?y2?exy
（8分）
1
(2x?yexy)dx?(2y?xexy)dy 22xy
x?y?e
??
（10分）
【090303】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数u?x【试题答案及评分标准】
yz
的全微分。
lnu?yzlnx
z?u1
?u?yz??yzxy?1 ?xx
（2分） （5分）
z?u
?z?yz?1?xy?lnx ?y
?uzyz
?y?x?lnx?lny ?z
z
z
（8分）
du?yzxy
z?1
dx?z?yz?1?xy?lnxdy?yz?xy?lnx?lnydz
（10分）
【090304】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u?arccosx，求du。
x2
?y
2
【试题答案及评分标准】
u?x2?y2?1x2
??yx?y??????x2?y2?(x2
?y2)3/2??
x2?y2u??x2?y2?y???xy
?xsgnyy(x2?y2)3/2??
?x2?y2
du?
sgny
x2?y
2
(?ydx?xdy) 【090305】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u?arcsinxu。
x2
?y
2
，求d【试题答案及评分标准】
2ux2?yy???1??x2
???yx?
?x2?y2(x2
?y2)3/2??
x2?y2 ux2?y2
?y?
???xy??xsgnyy
(x2?y2)3/2??
?x2?y2
du?
sgny
x2?y
2
(ydx?xdy)
【090306】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数u?xy
yzzx
的全微分。 【试题答案及评分标准】
?u?x?yxy?1yzzx?xyyzzxlnz?xyyzzx(y
x
?lnz) ?u?xyyzzxlnx?xyz
?yzyz?1zx?xyyzzx(y
?lnx) 4分）8分）10分）4分）8分）10分）3分）6分） （ （
（
（ （
（
（
（
?ux
?xyyzzxlny?xyyzxzx?1?xyyzzx(?lny) ?zz
（9分）
?y?zx
du?xyyzzx?(?lnz)dx?(?lnx)dy?(?lny)dz?（10分）
yz?x?
【090307】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u?arccos【试题答案及评分标准】
yz
，求du。 x
?u??x
1?yz?1????x?
?1?yz?1????x?
2
2
?
yzyz
?
222x2xx?yz
xzz
??
222xxx?yz
（3分）
?u
??y
?
（6分）
?xy?u?
222?zxx?yz
（9分）
du?
?yzxzxy?
dy?dz? ?dx?
222xx?x?yz?x1
（10分）
【090308】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设f(x,y)?【试题答案及评分标准】
x2?y2，则df= ——— 。
（10分）
xdx?ydyx?y
2
2
【090309】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设z?xy?x?e，则dz= ——— 。
【试题答案及评分标准】(3xy?2x)dx?(2xy?e)dy10分 【090310】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设z?(1?x)，则dz= ——— 。 【试题答案及评分标准】y(1?x)
y?1
y2
2
3
y
3
2
2
y
dx?(1?x)yln(1?x)dy 10分
【090311】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】
?x?
【试题内容】设u(x,y,z)???，则du(1,2,3)= ——— 。
?y?
z
【试题答案及评分标准】
331
dx?dy?ln2dz （10分） 8168
【090312】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设f(x,y,z)?ln(xy?z)，则df(1,2,0)= ——— 。 【试题答案及评分标准】dx?
11
dy?dz （10分） 22x2?y2)，则du= ——— 。
【090313】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u(x,y)?ln(x?【试题答案及评分标准】
1x?y
2
2
(dx?
yx?x?y
2
2
dy) 10分
【090314】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设z?xye
x?y
，则dz= ——— 。
x?y
【试题答案及评分标准】e
?y(1?x)dx?x(1?y)dy?
（10分）
【090315】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u(x,y)?
x?y
，则du= ——— 。 x?y
2(?ydx?xdy)
（10分）
(x?y)2
【试题答案及评分标准】
【090316】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u?cosh(xy)?cos(xy)，则du= ——— 。 【试题答案及评分标准】?sinh(xy)?sin(xy)?(ydx?xdy) 【090317】【填空题】【较易0.3】全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u?ln(xy)?tanh(x?y)，则du= ——— 。
（10分）
【试题答案及评分标准】?
?1??1?11
?dx?????dy（10分） 22?xcosh(x?y)??ycosh(x?y)?
【090318】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设z?e
xy
?cosexy，则dz= ——— 。
xy
xy
【试题答案及评分标准】e(1?sine)(ydx?xdy)
（10分）
【090319】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】
?x2y?
【试题内容】研究函数z(x,y)??x4?y2
?0?
是否存在？
【试题答案及评分标准】
x4?y2?0x4?y2?0
在点（0，0）处的全微分
?z?x
(0,0)
?lim
?x?0
f(?x,0)?f(0,0)
?0
?x
（3分）
?z?y
(0,0)
?lim
?y?0
f(0,?y)?f(0,0)
?0
?y
??z?z??
??x?zdx?(0,0)
?y
?(?x)2?y
(0,0)dy??42
?(?x)?(?y)(?x)2?(?y)2
（5分）
?(?x)2?y?lim
?x?0?(?x)4?(?y)2?
???y?0
取?x??y， 上式=lim
?x?0
(?x)
(?x)3
4
?(?x)
2
2?x
??
1
?0 2
故函数z(x,y)在点（0，0）处不可微。
函数在（0，0）点全微分不存在。 （10分） 【090320】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】讨论：函数f(x,y)?
x2?y2在点（0，0）处是否可微？
?xf(?x,0)?f(0,0)
?lim【试题答案及评分标准】lim不存在
?x?0?x?0?x?x
（5分）
fx(0,0)不存在，故函数f(x,y)?
x2?y2在点（0，0）处不可微。
（10分）
【090321】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】
【试题内容】设f(x,y)?x?sinxy，试研究（0，0）处的全微分是否存在？
【试题答案及评分标准】因lim
x?0
xx
不存在，即fx(0,0)不存在
10分
8分
故f(x,y)在（0，0）全微分不存在。
【090322】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】
篇二：浅析高等数学中导数的重要应用
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浅析高等数学中导数的重要应用
作者：邱进凌
来源：《新校园·中旬刊》2014年第09期
摘 要：高等数学是我国高等教育中的一门公共基础文化课，而导数则在这门课程中发挥着承上启下的作用，是连接初等数学和高等数学的重要纽带，在整个高等数学教育中占据着很重要的位置，是高等教育中学习专业课的理论基础。本文主要介绍导数的定义及其在高等数学中的重要应用。
关键词：高等数学；导数；重要应用
高等数学把导数归纳为极限问题。只有极限问题的存在，导数才会成立。导数问题之后的积分数学习，其实就是求导数的逆运算。因此，导数在整个高等数学中发挥着承前启后的作用，学习好导数有助于学习好整个高等数学。简单来说，导数就是一个连续变量随着另一个连续变量发生变化形成的规律。导数就是质点做变速运动的瞬时速度的抽象表达，它对曲线上某一点处的切线斜率进行近似的表达，这使得导数具有了几何意义，这就是导数的概念。
一、导数的定义
导数的概念描述的逻辑性比较强，定义精准、严密、抽象，尤其是导数概念中的极限思想，更是不容易被理解。本文对导数定义的诠释借助了函数公式，意图把抽象概念具象化。
二、如何求导
1.利用定义求导
通过上面对导数定义的分析，可以发现导数具有一定的连续性，但是连续性可以推出导数是否可以导吗？通过下面例子，我们看一下函数在某个点连续，是否就是一定可导。例如：判断y=|x-a|在x=a处能否可导。可以做出如下解：
由■x-a=0 ■a-x=0可以得出f（x）在x0处是连续的，
因此，f-′（a）=■■=-1 f+′（a）=■■=1
所以，只有当f-′（a）=f+′（a）时，f′（a）才会存在，在上述例子中，f′（a）就是不存在的。虽然求得函数f（x）在某处可以连续，但还是不一定可导。分辨清楚函数的连续性和可导性之间的关系，对于学习好导数是十分重要的。
2.简化求导
篇三：考研数学高数资料—偏导数
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二、 偏导数
定义：设函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)?D的某一邻域内有定义，把y固定在y0而x在x0处有增量?x，相应的函数有增量?z?f(x0??x,y0)?f(x0,y0)，如果极限
?x?0limf(x0??x,y0)?f(x0,y0) ?x
存在，则称函数z?f(x,y)在点P并定义此极限值为函数0(x0,y0)处关于x的偏导数存在，z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处对变量x的偏导数，记作?z
?x,
x?x0y?y0?f?xx?x0y?y0,z?xx?x0y?y0,fx?(x0,y0).
类似地，可以定义函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处对变量y的偏导数
?y?0limf(x0,y0??y)?f(x0,y0)， ?y
记作?z?f,?y(x0,y)?y0,z?y(x0,y0)(x0,y0),fy?(x0,y0).
?xy,(x,y)?(0,0)?22【例5】：讨论函数f(x,y)??x?y在(0,0)处的连续性和偏导数的存在
?0 ,(x,y)?(0,0)?
性.
答案：不连续；偏导数存在.
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?x3?y3
,(x,y)?(0,0)?【例6】：讨论函数f(x,y)??x2?y2在(0,0)处的连续性和偏导数的存在
?0 ,(x,y)?(0,0)?
性.
答案：连续；偏导数存在
【例7】：讨论函数f?x,y??ex?y2在(0,0)处的两个偏导数是否存在.
答案：对变量x的偏导数不存在；对变量y的偏导数存在为0.
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