篇一：三角函数及解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义：设?是任意一个角，P(x,y)是?的终边上的任意一点（异
于原点），它与原点的距离
是r??0，那么sin??
yx
,cos??rr
，
y
tan??,?x?0?
x
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
2.三角函数在各象限的符号：
（一全二正弦，三切四余弦）
＋ ＋ － ＋ － ＋－ －－ ＋ ＋ －
?cos?tan?
3.同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：sin??cos??1,1?tan??（2）商数关系：tan??
2
2
2
1
2
cos?
sin?
（用于切化弦） cos?
※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换
4.三角函数的诱导公式
k?
??形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 诱导公式（把角写成2
?sin(?x)??sinx?sin(2k??x)?sinx?sin(??x)??sinx???Ⅰ）?cos(2k??x)?cosx Ⅱ）?cos(?x)?cosx Ⅲ） ?cos(??x)??cosx ?tan(?x)??tanx?tan(2k??x)?tanx?tan(??x)?tanx???
?????sin(??x)?sinxsin(??)?cos???)?cos?????2?2Ⅳ）?cos(??x)??cosx Ⅴ）? Ⅵ）?
?tan(????)?sin?????)??sin???x)??tanx???2?2?
5.特殊角的三角函数值
6.三角函数的图像及性质
7.函数y?Asin(?x??)图象的画法： ①“五点法”――设X??x??，令X＝0，
?
2
,?,
3?
,2?求出相应的x值，计算得出五2
点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
8.图像的平移变换：函数y?Asin(?x??)?k的图象与y?sinx图象间的关系：
要特别注意，若由y?sin??x?得到y?sin??x???的图象，则向左或向右平移应平移
|
?
|个单位 ?
例：以y?sinx变换到y?4sin(3x??)为例
3
y?sinx向左平移
?
个单位 （左加右减）
???
y?sin?x??
3??
横坐标变为原来的
1???
倍（纵坐标不变） y?sin?3x?? 33??
??
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） y?4sin?3x???
3??
1
y?sinx横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）y?sin?3x?
向左平移
???????
个单位 （左加右减） y?sin3?x???sin?3x?? 9?3???
??
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）y?4sin??3x??
3??
注意：在变换中改变的始终是x。
9、三角恒等变换
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1）sin(???)?sin?cos??sin?cos? (2）sin(???)?sin?cos??sin?cos? (3）cos(???)?cos?cos??sin?sin? (4）cos(???)?cos?cos??sin?sin?
???)?(5）tan(
tan??tan?
?tan??tan??tan??????1?tan?tan??
1?tan?tan?
tan??tan?
?tan??tan??tan??????1?tan?tan??
1?tan?tan?
???)?(6）tan(
(7) asin??
bcos?=???)(其中,辅助角?所在象限由点(a,b)所在的象限决定
,sin??
??
tan??
b
，该法也叫合一变形). a
(8)
1?tan??1?tan??
?tan(??)?tan(??)
1?tan?41?tan?4
10、二倍角公式
（1）sin2a?2sinacosa
（2）cos2a?cosa?sina?1?2sina?2cosa?1 （3）tan2a?
2
2
2
2
2tana
1?tan2a
11. 降幂公式： （1）cosa?
2
1?cos2a1?cos2a2
（2）sina?22
2
12. 升幂公式 （1）1?cos??2cos（3）1?sin??(sin（5）sin??2sin
?
2
（2）1?cos??2sin
2
?
2
?
2
?cos
?
2
)2 （4）1?sin2??cos2?
?
2
cos
?
2
篇二：三角函数及解三角形总结提升
三角函数及解三角形总结提升
1．cos(－17π17π)－sin(－的值是( ) 44
2 2A.2 B．－2 C．02．已知sinα＝2m－5mcosα＝－α为第二象限角，则m的允许值为( ) m＋1m＋1
553A.＜m＜6 B．－6＜m＜ C．m＝4D．m＝4或m＝ 222
π3.将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－的图象，则6
φ等于( ) π11π7π5πA. B. C. D.6666
4.在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA＞sinB，则△ABC的形状是 ( )
A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
15.△ABC的两边长分别为2,3( ) 3
A. B.C.D．2 248
6.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为（）
xππA．f(x)＝2cos()B．f(x)＝2cos(4x＋) 234
xππC．f(x)＝D．f(x)＝2sin(4x＋264
1＋cos2x＋8sin2xπ7.当0＜x＜f(x)＝( ) 2sin2x
A．2B．23 C．4 D．3
8.在△ABC中，已知tanA＝3tanB，则tan(A－B)的最大值为____，此时角A的大小为________．
9.如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)，x∈R的部分图象，则下列命
题中，正确命题的序号为________．
π①函数f(x)的最小正周期为 ②函数f(x)的振幅为23； 2
③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝7ππ7πf(x)的单调递增区间为[，]； 121212
2π
． 3⑤函数的解析式为f(x)＝3sin(2x－
A＋C310. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos＝. 23
(1)求cosB的值； (2)若BCBA·BC＝2，b＝22，求a和c的值．
π311. 已知函数f(x)＝2cosxsin(x＋－. 32
(1)求函数f(x)的最小正周期T；
(2)若△ABC的三边a，b，c满足b2＝ac，且边b所对角为B，试求cosB的取值范围，并确定此时f(B)的最大值．
12.
已知函数f(x)?2sin2??π??ππ??x?2x，x???． ?42??4?
（1）求f(x)的最大值和最小值；（2）f（x）的最小正周期。 （3）若不等式f(x)?m?2在x???上恒成立，求实数m的取值范围． 42?ππ???
篇三：必修五解三角形总结
abc
1.正弦定理：sinA=sinB=sinC=2R，其中R是三角形外接圆半径.
2.余弦定理：
（1）形式一：a2?b2?c2?2bc?cosA，b2?a2?c2?2ac?cosB，
c2?a2?b2?2ab?cosC
222222222b?c?aa?c?ba?b?c形式二：cosA?，cosB?，cosC?，（角到边的转
2bc2ac2ab
换）
111
3.S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB,
4.在三角形中大边对大角，反之亦然.
5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形内角的诱导公式
CA?B
(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos2=sin2, CA?B
sin2=cos2??
在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；
(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列. 7.解三角形常见的四种类型
abc
(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及sinA=sinB=sinC，可求出角C，
再求b、c.
(2)已知两边b、c与其夹角A，由a=b+c-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.
(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.
ab
(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinA=sinB，求出另一边bacab
的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由sinA=sinC求出C，而通过sinA=sinB
2
2
2
求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：
9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.
专题一：正、余弦定理的应用
1．
正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角． 2．余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角． 例1．.（2011江西卷17）．（本小题满分12分）
A?BC
?tan?4, 在?ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，a?，tan22
2sinBcosC?sinA，求A,B及b,c
例2．.（2009北京理） 在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B?
4
cosA?,b?（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求?ABC的面积.
5
?
3
，
1．（2010
上海文数）18.若△ABC的三个内角满足
sinA:sinB:sinC?5:11:13，则△ABC
（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形. （C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
2．（2010天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c
，若
a2?b2?
，sinC?B，则A=
（A）30 （B）60（C）120 （D）150
00
3.（2011全国二17）．（本小题满分10分）
54
在△ABC中，cosB??，cosC?．
135
（Ⅰ）求sinA的值；
33
（Ⅱ）设△ABC的面积S△ABC?，求BC的长．
2
专题二：正、余弦定理、三角函数与向量的综合应用
例3. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若????k(k?R). （Ⅰ）判断△ABC的形状； （Ⅱ）若c?2,求k的值.
例4．（2009浙江理）（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，
且满足cos
A，AB?AC?3．?
2（I）求?ABC的面积；（II）若b?c?6，求a的值．
4.（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC中，AB?a，AC?b，a?b?0，
S?ABC?
15
，a?3,b?5，则?BAC? 4
（
）
A.． 30 B ．?150 C．1500D． 30或1500 5． (2010年安徽)△ABC的面积是30，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，
12cosA＝13.
→→(1)求AB·AC；
(2)若c－b＝1，求a的值．
专题三：三角形面积
例5．在?ABC中，sinA?cosA?值和?ABC的面积。
，2
AC?2，AB?3,求tanA的
6.（2011辽宁卷17）．（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c?2，C?（Ⅰ）若△
ABCa，b；
（Ⅱ）若sinC?sin(B?A)?2sin2A，求△ABC的面积．
专题四：解三角形的实际应用
正弦定理、余弦定理在实际生产生活中有着非常广泛的应用．常见题有距离问题、高度问题、角度问题以及求平面图形的面积问题等．解决这类问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题．
抽象推理还原
实际问题――→解三角形问题――→三角形问题的解――→概括演算说明实际问题的解
例5：如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD
交AC于E，AB=2． （Ⅰ）求cos∠CBE的值；（Ⅱ）求AE．
例6：（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为750，300，于水面C处测得B点和D点的仰角均为600，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km
?1.414
?2.449）
7.如图3，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos
θ
?
． 3
的值．
图3
8．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点
C与D．现测得?BCD??，?BDC??，CD?s，并在点C测得塔顶A
的仰角为?，求塔高AB．
本章思维总结
1．解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b；
（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；
（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。 2．三角学中的射影定理：在△ABC 中，b3．两内角与其正弦值：在△ABC 中，A
?a?cosC?c?cosA，?
?B?sinA?sinB，?
4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
答案：例题1解：由tan
A?BCCC
?tan?4得cot?tan?4 2222
CC
sin
1??4∴∴?4
sincossincos
22221
∴sinC?，又C?
(0,?)
2cos
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